Subgroups — #503100

Order 512.

1312 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2248	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2247	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2189	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#33172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13329	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#135	—	2	1	no	—
11	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#532	—	2	1	no	—
13	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	—
15	#3147	—	2	4	no	—
16	#3147	—	2	4	no	—
17	C₂×#495	—	2	1	no	—
18	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#492	—	2	1	no	—
23	C₂×#467	—	2	1	no	—
24	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2857	—	2	1	no	—
27	#2248	—	2	4	no	—
28	#2247	—	2	4	no	—
29	#2189	—	2	16	no	—
30	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1969	—	2	1	no	—
36	#1969	C₂²	1	2	yes	—
37	#1956	—	2	1	no	—
38	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1374	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#135	—	2	8	no	—
42	C₂×#135	—	2	4	no	—
43	C₂×#135	—	2	4	no	—
44	C₂×#135	—	2	8	no	—
45	C₂×#135	—	4	4	no	—
46	C₂×#135	—	4	4	no	—
47	C₂×#135	—	4	4	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#532	—	2	8	no	—
59	#532	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×#127	—	2	1	no	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
69	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
70	C₂×Q₃₂	—	4	4	no	—
71	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
72	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
73	C₂×SD₃₂	—	4	4	no	—
74	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
76	#495	—	2	8	no	—
77	#495	—	2	4	no	—
78	#495	—	2	4	no	—
79	#494	—	2	2	no	—
80	#494	—	2	2	no	—
81	#494	—	2	2	no	—
82	#494	D₄	1	4	yes	—
83	#493	—	2	2	no	—
84	#493	D₄	1	4	yes	—
85	#492	—	2	8	no	—
86	#467	—	2	8	no	—
87	#467	—	4	4	no	—
88	C₂×#107	—	2	1	no	—
89	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#103	—	2	2	no	—
91	C₂×#103	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#391	—	2	2	no	—
99	#389	—	4	2	no	—
100	#384	—	2	1	no	—
101	#380	—	4	2	no	—
102	#358	—	2	8	no	—
103	#357	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
105	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
106	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	8	no	—
108	C₂×#41	—	4	4	no	—
109	C₂×#41	—	4	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	4	no	—
111	C₂×#41	—	4	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	4	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	#135	—	4	16	no	—
122	#135	—	4	16	no	—
123	#135	—	4	32	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
144	C₂×D₈	—	2	4	no	—
145	C₂×D₈	—	2	4	no	—
146	C₂×D₈	—	2	2	no	—
147	C₂×D₈	—	2	4	no	—
148	C₂×D₈	—	4	2	no	—
149	C₂×D₈	—	4	2	no	—
150	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
166	#127	—	2	4	no	—
167	#127	—	4	2	no	—
168	#124	—	2	8	no	—
169	#124	—	4	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
172	#121	—	4	16	no	—
173	C₄×D₄	—	4	16	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	Q₃₂	—	4	16	no	—
187	SD₃₂	—	4	16	no	—
188	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
189	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
190	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
191	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
192	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	#107	—	2	4	no	—
195	#107	—	4	2	no	—
196	#103	—	4	4	no	—
197	#103	—	4	4	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	1	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	#95	—	4	4	no	—
205	C₂⁴	—	4	2	no	—
206	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	4	16	no	—
208	#41	—	4	16	no	—
209	#41	—	8	8	no	—
210	#41	—	8	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	8	no	—
231	C₂×D₄	—	8	4	no	—
232	C₂×D₄	—	8	4	no	—
233	C₂×D₄	—	8	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
248	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	2	8	no	—
255	Q₁₆	—	4	4	no	—
256	Q₁₆	—	4	4	no	—
257	Q₁₆	—	4	4	no	—
258	Q₁₆	—	4	8	no	—
259	Q₁₆	—	8	4	no	—
260	SD₁₆	—	4	16	no	—
261	SD₁₆	—	4	16	no	—
262	D₈	—	2	8	no	—
263	D₈	—	4	4	no	—
264	D₈	—	4	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	#120	1	2	yes	—
293	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
294	C₁₆	—	2	4	no	—
295	C₁₆	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	1	no	—
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	4	no	—
303	C₂³	—	8	4	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	#493	1	2	yes	—
306	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	4	4	no	—
308	Q₈	—	4	4	no	—
309	Q₈	—	8	2	no	—
310	Q₈	—	8	2	no	—
311	Q₈	—	8	2	no	—
312	Q₈	—	8	2	no	—
313	Q₈	—	8	2	no	—
314	Q₈	—	8	2	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	8	16	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	16	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	16	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#508	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#510	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	#447	1	4	yes	—
353	C₈	D₄²	1	2	yes	—
354	C₈	D₄²	1	2	yes	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	8	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	—	16	4	no	—
365	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
369	C₂²	C₂×#510	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	8	4	no	—
373	C₄	—	16	2	no	—
374	C₄	—	16	2	no	—
375	C₄	#2189	1	8	yes	complemented
376	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3205	1	1	yes	characteristic
380	C₂	—	4	2	no	—
381	C₂	—	16	4	no	—
382	C₂	#25721	1	1	yes	characteristic
383	C₂	C₂×#2189	1	2	yes	—
384	C₂	#33713	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#33718	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#33776	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2248	C₂	semidirect
3. C₂×#2247	C₂	semidirect
4. C₂×#2189	C₂	semidirect
5. #33172	C₂	semidirect
6. #13329	C₂	semidirect
7. #13203	C₂	semidirect
8. #13202	C₂	semidirect
9. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
104. C₂²⋊C₁₆	D₄	semidirect
375. C₄	#2189	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
C₂×#2248	2
C₂×#2247	2
C₂×#2189	2
#33172	2
#13329	2
#13203	2
#13202	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2