Subgroups — #503137

Order 512.

1392 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2248	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2187	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13305	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13252	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×D₄²	—	2	1	no	—
12	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
14	D₄×D₈	—	2	4	no	—
15	D₄×D₈	—	2	4	no	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#459	—	2	1	no	—
21	C₂×#447	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2542	—	2	1	no	—
25	#2248	—	2	4	no	—
26	#2208	—	2	4	no	—
27	#2187	—	2	16	no	—
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#2001	—	2	2	no	—
35	#1981	—	2	1	no	—
36	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×D₄	—	4	1	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	D₄²	—	2	8	no	—
52	D₄²	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×#121	—	4	1	no	—
58	C₂×#120	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
62	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
63	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
64	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
65	C₂×SD₃₂	—	4	4	no	—
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	#494	—	2	2	no	—
69	#494	—	2	2	no	—
70	#493	—	2	2	no	—
71	#493	D₄	1	4	yes	—
72	#467	—	2	8	no	—
73	#467	—	4	4	no	—
74	#466	—	2	4	no	—
75	#466	—	2	4	no	—
76	#459	—	2	8	no	—
77	#447	—	2	16	no	—
78	C₄×D₈	—	2	2	no	—
79	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₈×D₄	—	2	2	no	—
81	C₈×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#103	—	2	4	no	—
86	C₂×#102	—	2	1	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#399	—	4	2	no	—
91	#390	—	4	1	no	—
92	#384	—	4	1	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
95	#358	—	2	4	no	—
96	#357	—	2	8	no	—
97	#357	D₄	1	8	yes	complemented
98	C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
99	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	1	no	—
101	C₂⁵	—	4	2	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
116	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	8	no	—
126	C₂×D₈	—	2	4	no	—
127	C₂×D₈	—	2	1	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	—	2	2	no	—
131	C₂×D₈	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	4	8	no	—
133	C₂×D₈	—	4	16	no	—
134	C₂×D₈	—	4	8	no	—
135	C₂×D₈	—	4	8	no	—
136	C₂×D₈	—	8	2	no	—
137	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
149	#127	—	2	4	no	—
150	#127	—	4	2	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
153	#121	—	2	8	no	—
154	#121	—	4	8	no	—
155	#121	—	4	4	no	—
156	#120	—	4	16	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	4	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	SD₃₂	—	4	16	no	—
174	SD₃₂	—	4	8	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
179	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
180	#107	—	2	1	no	—
181	#107	—	2	2	no	—
182	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	#107	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	#103	—	4	8	no	—
186	#102	—	2	8	no	—
187	#102	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	#95	—	4	1	no	—
192	C₂⁴	—	4	8	no	—
193	C₂⁴	—	4	1	no	—
194	C₂⁴	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	—	8	8	no	—
196	C₂⁴	—	8	4	no	—
197	C₂⁴	—	8	4	no	—
198	C₂⁴	—	16	4	no	—
199	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	1	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	8	no	—
220	C₂×D₄	—	8	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	16	no	—
222	C₂×D₄	—	8	32	no	—
223	C₂×D₄	—	8	4	no	—
224	C₂×D₄	—	8	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	2	no	—
226	C₂×D₄	—	8	2	no	—
227	C₂×D₄	—	16	2	no	—
228	C₂×D₄	SD₃₂	1	4	yes	complemented
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	Q₁₆	—	4	2	no	—
244	Q₁₆	—	4	2	no	—
245	Q₁₆	—	4	4	no	—
246	Q₁₆	—	8	4	no	—
247	D₈	—	2	2	no	—
248	D₈	—	2	4	no	—
249	D₈	—	2	8	no	—
250	D₈	—	4	16	no	—
251	D₈	—	4	2	no	—
252	D₈	—	4	2	no	—
253	D₈	—	8	4	no	—
254	D₈	#127	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
278	C₄²	—	8	2	no	—
279	C₄²	#120	1	2	yes	—
280	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
281	C₁₆	—	2	4	no	—
282	C₁₆	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	8	16	no	—
291	C₂³	—	8	16	no	—
292	C₂³	—	8	1	no	—
293	C₂³	—	8	1	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	—	8	4	no	—
299	C₂³	—	16	16	no	—
300	C₂³	—	16	8	no	—
301	C₂³	—	16	16	no	—
302	C₂³	C₂×SD₃₂	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	4	no	—
307	D₄	—	2	4	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	8	16	no	—
314	D₄	—	8	16	no	—
315	D₄	—	8	8	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	16	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	1	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	1	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
341	C₈	—	2	2	no	—
342	C₈	—	4	2	no	—
343	C₈	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
344	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
345	C₈	D₄²	1	2	yes	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	4	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	—	8	2	no	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	16	32	no	—
360	C₂²	—	16	4	no	—
361	C₂²	—	16	4	no	—
362	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂²×SD₃₂	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3416	1	2	yes	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	8	4	no	—
370	C₄	—	8	2	no	—
371	C₄	—	16	2	no	—
372	C₄	#2187	1	4	yes	complemented
373	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#3008	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#3274	1	2	yes	—
376	C₂	—	4	4	no	—
377	C₂	—	8	4	no	—
378	C₂	—	16	4	no	—
379	C₂	#25757	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#2187	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#33523	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#33838	1	2	yes	—
383	C₂	D₄×SD₃₂	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×D₄×D₈	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2248	C₂	semidirect
3. C₂×#2208	C₂	semidirect
4. C₂×#2187	C₂	semidirect
5. #28486	C₂	semidirect
6. #13305	C₂	semidirect
7. #13252	C₂	semidirect
8. #13189	C₂	semidirect
9. C₄×#357	C₂	semidirect
13. C₂²×SD₃₂	C₂²	semidirect
16. C₂×#494	C₂²	semidirect
18. C₂×#467	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
29. C₂×#358	C₂²	semidirect
31. C₂×#357	C₂²	semidirect
32. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
36. C₄×#107	C₂²	semidirect
37. #1380	C₂²	semidirect
97. #357	D₄	semidirect
179. C₂×C₁₆	C₂×D₄	semidirect
183. #107	C₂×D₄	semidirect
228. C₂×D₄	SD₃₂	semidirect
372. C₄	#2187	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×D₈	2
C₂×#2248	2
C₂×#2208	2
C₂×#2187	2
#28486	2
#13305	2
#13252	2
#13189	2
C₄×#357	2