Subgroups — #503271

Order 512.

1118 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 445 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3415	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33720	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2221	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#2192	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#25805	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13245	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12614	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#576	C₂²	1	2	yes	—
13	#3415	—	2	4	no	—
14	#3415	—	2	4	no	—
15	C₂×#509	—	2	2	no	—
16	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×#508	—	2	1	no	—
19	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×D₁₆	—	2	1	no	—
21	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#3155	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#472	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#453	—	2	2	no	—
29	#3008	—	2	2	no	—
30	#2250	—	2	2	no	—
31	#2249	—	2	1	no	—
32	#2246	—	2	4	no	—
33	#2246	—	2	1	no	—
34	#2221	—	2	4	no	—
35	#2192	—	2	8	no	—
36	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂×#350	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#2018	—	2	2	no	—
44	#2002	—	2	2	no	—
45	#1978	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#1974	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#1764	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#1379	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#1376	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
51	#576	—	2	4	no	—
52	#576	—	2	4	no	—
53	#576	—	2	4	no	—
54	#576	—	4	2	no	—
55	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
56	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
57	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
58	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	2	no	—
59	C₂×#135	—	2	2	no	—
60	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
62	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#535	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	—	2	2	no	—
68	#509	—	2	16	no	—
69	#509	—	2	4	no	—
70	#509	—	2	4	no	—
71	#509	—	2	4	no	—
72	#509	—	4	2	no	—
73	#508	—	2	8	no	—
74	#508	—	2	2	no	—
75	#508	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₃₂	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
77	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
78	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
79	C₂×SD₃₂	D₄	1	2	yes	complemented
80	C₂×D₁₆	—	2	8	no	—
81	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
83	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
84	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
85	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
86	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
87	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
91	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
92	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
93	C₂×D₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
94	C₂×D₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
95	#504	—	2	2	no	—
96	#504	D₄	1	4	yes	complemented
97	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
98	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#496	—	4	2	no	—
104	#495	—	2	2	no	—
105	#493	—	2	4	no	—
106	#493	—	2	2	no	—
107	#493	—	4	2	no	—
108	#472	—	2	4	no	—
109	#472	—	2	4	no	—
110	#453	—	4	8	no	—
111	#449	—	4	4	no	—
112	#447	—	4	4	no	—
113	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×#104	—	2	2	no	—
115	C₂×#104	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#418	—	2	2	no	—
117	#416	D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×#100	—	2	2	no	—
119	C₂×#100	—	2	2	no	—
120	#408	—	2	2	no	—
121	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#368	—	2	2	no	—
124	#361	—	2	4	no	—
125	#361	—	2	4	no	—
126	#359	—	2	4	no	—
127	#350	D₄	1	4	yes	complemented
128	#346	—	2	1	no	—
129	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
130	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
131	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
132	#339	D₄	1	1	yes	characteristic
133	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
134	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
135	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
136	H(5,𝔽₂)	—	8	2	no	—
137	C₂×#41	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	4	2	no	—
139	C₂×#41	—	4	2	no	—
140	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
147	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
148	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
149	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
150	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
151	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
152	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
153	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
154	AGL(1,ℤ/8)	—	8	2	no	—
155	#135	—	2	8	no	—
156	#135	—	2	2	no	—
157	#135	—	2	2	no	—
158	#135	—	2	2	no	—
159	#135	—	2	2	no	—
160	#135	—	4	4	no	—
161	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
164	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
165	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
166	C₂×D₈	—	2	8	no	—
167	C₂×D₈	—	2	2	no	—
168	C₂×D₈	—	2	2	no	—
169	C₂×D₈	—	2	2	no	—
170	C₂×D₈	—	2	2	no	—
171	C₂×D₈	—	2	2	no	—
172	C₂×D₈	—	2	2	no	—
173	C₂×D₈	—	2	2	no	—
174	C₂×D₈	—	2	2	no	—
175	C₂×D₈	—	2	2	no	—
176	C₂×D₈	—	2	2	no	—
177	C₂×D₈	—	2	2	no	—
178	C₂×D₈	—	4	4	no	—
179	C₂×D₈	—	4	2	no	—
180	C₂×D₈	—	4	4	no	—
181	C₂×D₈	—	4	2	no	—
182	C₂×D₈	—	4	2	no	—
183	C₂×D₈	—	4	4	no	—
184	C₂×D₈	—	8	2	no	—
185	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	#131	—	2	1	no	—
188	#131	—	2	1	no	—
189	#131	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	#131	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
192	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
193	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	#127	—	4	4	no	—
199	#127	—	4	2	no	—
200	#127	—	4	4	no	—
201	#124	—	4	2	no	—
202	#121	—	4	4	no	—
203	#120	—	8	2	no	—
204	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	Q₃₂	—	2	2	no	—
207	SD₃₂	—	2	8	no	—
208	SD₃₂	—	2	4	no	—
209	SD₃₂	—	4	4	no	—
210	D₁₆	—	2	8	no	—
211	D₁₆	—	2	2	no	—
212	D₁₆	—	2	4	no	—
213	D₁₆	—	2	4	no	—
214	D₁₆	—	4	8	no	—
215	D₁₆	—	4	4	no	—
216	D₁₆	—	4	2	no	—
217	D₁₆	—	4	2	no	—
218	M₃₂	—	2	1	no	—
219	M₃₂	—	2	1	no	—
220	M₃₂	—	2	4	no	—
221	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
224	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
225	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
226	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
227	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
228	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	#108	—	2	2	no	—
234	#108	—	2	2	no	—
235	#104	—	4	4	no	—
236	#104	D₈	1	4	yes	—
237	#103	D₈	1	2	yes	—
238	#102	—	4	4	no	—
239	#102	D₈	1	2	yes	—
240	#100	—	4	4	no	—
241	#100	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
243	#97	—	2	1	no	—
244	C₄×C₈	—	2	1	no	—
245	C₄×C₈	—	2	1	no	—
246	C₄×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂⁴	—	4	2	no	—
248	C₂⁴	—	4	2	no	—
249	C₂⁴	—	8	2	no	—
250	#41	—	2	1	no	—
251	#41	—	2	1	no	—
252	#41	—	4	8	no	—
253	#41	—	4	2	no	—
254	#41	—	4	2	no	—
255	#41	—	4	2	no	—
256	#41	—	4	2	no	—
257	#41	—	8	4	no	—
258	#41	—	8	4	no	—
259	#41	—	8	4	no	—
260	#41	#127	1	2	yes	—
261	#41	C₂×D₈	1	2	yes	—
262	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
263	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂×D₄	—	2	1	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	2	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	2	no	—
269	C₂×D₄	—	4	2	no	—
270	C₂×D₄	—	4	2	no	—
271	C₂×D₄	—	4	2	no	—
272	C₂×D₄	—	4	2	no	—
273	C₂×D₄	—	4	2	no	—
274	C₂×D₄	—	4	2	no	—
275	C₂×D₄	—	4	2	no	—
276	C₂×D₄	—	4	2	no	—
277	C₂×D₄	—	4	2	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	4	2	no	—
280	C₂×D₄	—	8	4	no	—
281	C₂×D₄	—	8	2	no	—
282	C₂×D₄	—	8	8	no	—
283	C₂×D₄	—	8	4	no	—
284	C₂×D₄	—	8	2	no	—
285	C₂×D₄	—	8	4	no	—
286	C₂×D₄	—	8	8	no	—
287	C₂×D₄	—	8	8	no	—
288	C₂×D₄	—	8	4	no	—
289	C₂×D₄	—	16	8	no	—
290	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	Q₁₆	—	2	2	no	—
297	Q₁₆	—	2	2	no	—
298	SD₁₆	—	4	8	no	—
299	SD₁₆	—	4	2	no	—
300	SD₁₆	—	4	2	no	—
301	SD₁₆	—	8	4	no	—
302	SD₁₆	—	8	4	no	—
303	D₈	—	2	2	no	—
304	D₈	—	2	4	no	—
305	D₈	—	2	4	no	—
306	D₈	—	2	2	no	—
307	D₈	—	4	8	no	—
308	D₈	—	4	2	no	—
309	D₈	—	4	2	no	—
310	D₈	—	4	2	no	—
311	D₈	—	4	2	no	—
312	D₈	—	4	2	no	—
313	D₈	—	4	2	no	—
314	D₈	—	8	8	no	—
315	D₈	—	8	4	no	—
316	D₈	—	8	4	no	—
317	M₁₆	—	2	1	no	—
318	M₁₆	—	2	1	no	—
319	M₁₆	—	2	2	no	—
320	M₁₆	—	2	2	no	—
321	M₁₆	—	4	2	no	—
322	M₁₆	—	4	2	no	—
323	M₁₆	#127	1	2	yes	—
324	M₁₆	C₂×D₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₈	—	2	1	no	—
326	C₂×C₈	—	2	1	no	—
327	C₂×C₈	—	2	1	no	—
328	C₂×C₈	—	2	1	no	—
329	C₂×C₈	—	2	2	no	—
330	C₂×C₈	—	2	2	no	—
331	C₂×C₈	—	4	2	no	—
332	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
339	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
340	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
342	C₄²	—	2	1	no	—
343	C₄²	—	2	1	no	—
344	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
345	C₁₆	—	2	2	no	—
346	C₁₆	—	2	2	no	—
347	C₁₆	—	2	2	no	—
348	C₁₆	#120	1	2	yes	—
349	C₁₆	#120	1	2	yes	—
350	C₂³	—	2	1	no	—
351	C₂³	—	4	2	no	—
352	C₂³	—	4	4	no	—
353	C₂³	—	8	8	no	—
354	C₂³	—	8	2	no	—
355	C₂³	—	8	2	no	—
356	C₂³	—	8	2	no	—
357	C₂³	—	8	2	no	—
358	C₂³	—	8	2	no	—
359	C₂³	—	16	4	no	—
360	C₂³	—	16	4	no	—
361	C₂³	—	32	4	no	—
362	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
363	Q₈	—	2	1	no	—
364	Q₈	—	4	2	no	—
365	Q₈	—	4	2	no	—
366	Q₈	#493	1	2	yes	—
367	D₄	—	2	2	no	—
368	D₄	—	2	2	no	—
369	D₄	—	2	1	no	—
370	D₄	—	4	4	no	—
371	D₄	—	4	2	no	—
372	D₄	—	4	4	no	—
373	D₄	—	4	2	no	—
374	D₄	—	8	8	no	—
375	D₄	—	8	8	no	—
376	D₄	—	8	2	no	—
377	D₄	—	8	2	no	—
378	D₄	—	8	2	no	—
379	D₄	—	8	2	no	—
380	D₄	—	8	2	no	—
381	D₄	—	8	2	no	—
382	D₄	—	8	2	no	—
383	D₄	—	8	2	no	—
384	D₄	—	16	16	no	—
385	D₄	—	32	4	no	—
386	D₄	#493	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	—	2	4	no	—
388	C₂×C₄	—	2	2	no	—
389	C₂×C₄	—	2	1	no	—
390	C₂×C₄	—	2	2	no	—
391	C₂×C₄	—	2	2	no	—
392	C₂×C₄	—	2	2	no	—
393	C₂×C₄	—	4	2	no	—
394	C₂×C₄	—	8	8	no	—
395	C₂×C₄	—	8	2	no	—
396	C₂×C₄	—	8	2	no	—
397	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
403	C₈	—	2	2	no	—
404	C₈	—	2	2	no	—
405	C₈	—	2	2	no	—
406	C₈	—	8	2	no	—
407	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
408	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
409	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
410	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	—	2	2	no	—
412	C₂²	—	2	2	no	—
413	C₂²	—	4	2	no	—
414	C₂²	—	8	4	no	—
415	C₂²	—	8	2	no	—
416	C₂²	—	8	4	no	—
417	C₂²	—	16	4	no	—
418	C₂²	—	16	4	no	—
419	C₂²	—	16	4	no	—
420	C₂²	—	16	4	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	—	32	2	no	—
423	C₂²	—	32	2	no	—
424	C₂²	—	32	8	no	—
425	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
427	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
428	C₄	—	2	4	no	—
429	C₄	—	2	2	no	—
430	C₄	—	4	2	no	—
431	C₄	—	8	2	no	—
432	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
433	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
434	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
435	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
436	C₂	—	2	1	no	—
437	C₂	—	2	1	no	—
438	C₂	—	4	2	no	—
439	C₂	—	16	2	no	—
440	C₂	—	16	4	no	—
441	C₂	—	32	2	no	—
442	C₂	#25779	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#33858	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1764 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3415	C₂	semidirect
2. #33720	C₂	semidirect
3. C₂×#2246	C₂	semidirect
4. C₂×#2221	C₂	semidirect
5. C₂×#2192	C₂	semidirect
6. #25805	C₂	semidirect
7. #13336	C₂	semidirect
8. #13331	C₂	semidirect
9. #13245	C₂	semidirect
10. #13241	C₂	semidirect
11. #12614	C₂	semidirect
17. C₂×#509	C₂²	semidirect
22. C₂²×D₁₆	C₂²	semidirect
23. C₂²×D₁₆	C₂²	semidirect
25. #3155	C₂²	semidirect
26. C₂×#493	C₂²	semidirect
36. C₂×#368	C₂²	semidirect
37. C₂×#361	C₂²	semidirect
38. C₂×#361	C₂²	semidirect
39. C₂×#359	C₂²	semidirect
41. #2108	C₂²	semidirect
42. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
45. #1978	C₂²	semidirect
46. #1974	C₂²	semidirect
48. #1379	C₂²	semidirect
49. #1376	C₂²	semidirect
76. C₂×Q₃₂	D₄	semidirect
79. C₂×SD₃₂	D₄	semidirect
93. C₂×D₁₆	D₄	semidirect
94. C₂×D₁₆	D₄	semidirect
96. #504	D₄	semidirect
127. #350	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3415	2
#33720	2
C₂×#2246	2
C₂×#2221	2
C₂×#2192	2
#25805	2
#13336	2
#13331	2
#13245	2
#13241	2
#12614	2