Subgroups — #5035245

Order 512.

4717 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 430 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(3,𝔽₄)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2662	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#15321	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#15317	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#15268	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#15267	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#14153	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×H(3,𝔽₄)	—	2	24	no	—
9	C₂²×#126	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
10	C₂²×#124	C₂²	1	6	yes	—
11	C₂²×#124	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×#120	C₂²	1	6	yes	—
13	C₂²×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
14	#2662	—	2	24	no	—
15	C₂×#396	C₂²	1	6	yes	complemented
16	C₂×#395	C₂²	1	3	yes	complemented
17	C₂×#394	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×#394	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#394	C₂²	1	6	yes	complemented
20	C₂×#393	C₂²	1	3	yes	complemented
21	C₂×#392	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂×#392	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#391	C₂²	1	6	yes	complemented
24	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	complemented
26	C₂×#388	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂×#379	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
29	#1440	C₂²	1	6	yes	complemented
30	#1439	C₂²	1	6	yes	complemented
31	#1439	C₂²	1	6	yes	complemented
32	#1439	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#1439	C₂²	1	6	yes	complemented
34	#1438	C₂²	1	6	yes	—
35	#1438	C₂²	1	6	yes	—
36	#1438	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#1437	C₂²	1	6	yes	complemented
38	#1437	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#1437	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1436	C₂²	1	6	yes	complemented
41	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
46	H(3,𝔽₄)	—	2	128	no	—
47	C₂×#126	—	2	12	no	—
48	C₂×#124	—	2	24	no	—
49	C₂×#124	—	2	24	no	—
50	C₂×#124	—	2	24	no	—
51	C₂×#124	—	2	12	no	—
52	C₂×#124	—	2	12	no	—
53	C₂×#124	D₄	1	24	yes	complemented
54	C₂×#120	—	2	24	no	—
55	C₂×#120	—	2	24	no	—
56	C₂×#120	—	2	24	no	—
57	C₂×#120	—	4	12	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#396	—	2	24	no	—
77	#395	—	2	12	no	—
78	#394	—	2	12	no	—
79	#394	—	2	24	no	—
80	#394	—	4	12	no	—
81	#393	—	2	12	no	—
82	#392	—	2	12	no	—
83	#392	—	4	12	no	—
84	#391	—	4	12	no	—
85	#390	—	2	24	no	—
86	#390	—	4	12	no	—
87	#388	—	2	24	no	—
88	#379	—	4	12	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
90	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂⁵	—	2	12	no	—
99	C₂⁵	—	4	6	no	—
100	C₂⁵	—	4	6	no	—
101	C₂⁵	—	4	6	no	—
102	C₂⁵	—	4	6	no	—
103	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
105	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
134	#126	—	4	16	no	—
135	#124	—	2	192	no	—
136	#124	—	2	96	no	—
137	#120	—	2	192	no	—
138	#120	—	4	32	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
184	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
189	#95	—	2	6	no	—
190	#95	—	2	6	no	—
191	#95	—	2	12	no	—
192	#95	—	2	12	no	—
193	#95	—	2	12	no	—
194	#95	—	2	12	no	—
195	#95	—	4	6	no	—
196	#95	—	4	6	no	—
197	C₂⁴	—	2	16	no	—
198	C₂⁴	—	2	6	no	—
199	C₂⁴	—	2	6	no	—
200	C₂⁴	—	2	6	no	—
201	C₂⁴	—	2	6	no	—
202	C₂⁴	—	2	6	no	—
203	C₂⁴	—	2	6	no	—
204	C₂⁴	—	2	6	no	—
205	C₂⁴	—	2	6	no	—
206	C₂⁴	—	2	6	no	—
207	C₂⁴	—	2	6	no	—
208	C₂⁴	—	2	6	no	—
209	C₂⁴	—	2	6	no	—
210	C₂⁴	—	2	6	no	—
211	C₂⁴	—	2	6	no	—
212	C₂⁴	—	2	3	no	—
213	C₂⁴	—	2	6	no	—
214	C₂⁴	—	2	6	no	—
215	C₂⁴	—	4	8	no	—
216	C₂⁴	—	4	24	no	—
217	C₂⁴	—	8	12	no	—
218	C₂⁴	—	8	12	no	—
219	C₂⁴	—	8	12	no	—
220	C₂⁴	—	8	12	no	—
221	C₂⁴	—	8	12	no	—
222	C₂⁴	—	8	12	no	—
223	C₂⁴	—	8	4	no	—
224	C₂⁴	—	8	12	no	—
225	C₂⁴	—	8	12	no	—
226	C₂⁴	—	8	12	no	—
227	C₂⁴	—	8	4	no	—
228	C₂⁴	—	8	4	no	—
229	C₂⁴	C₂²×D₄	1	12	yes	—
230	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
231	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
235	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
236	C₂×D₄	—	2	48	no	—
237	C₂×D₄	—	2	24	no	—
238	C₂×D₄	—	4	24	no	—
239	C₂×D₄	—	4	24	no	—
240	C₂×D₄	—	4	24	no	—
241	C₂×D₄	—	8	12	no	—
242	C₂×D₄	—	8	6	no	—
243	C₂×D₄	—	8	6	no	—
244	C₂×D₄	—	8	12	no	—
245	C₂×D₄	—	8	12	no	—
246	C₂×D₄	—	8	12	no	—
247	C₂×D₄	—	8	12	no	—
248	C₂×D₄	—	8	12	no	—
249	C₂×D₄	—	8	12	no	—
250	C₂×D₄	—	8	12	no	—
251	C₂×D₄	—	8	12	no	—
252	C₂×D₄	—	8	12	no	—
253	C₂×D₄	—	8	12	no	—
254	C₂×D₄	—	8	12	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
288	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
301	C₄²	—	2	16	no	—
302	C₄²	—	8	12	no	—
303	C₄²	#120	1	16	yes	complemented
304	C₂³	—	2	12	no	—
305	C₂³	—	2	12	no	—
306	C₂³	—	2	12	no	—
307	C₂³	—	2	12	no	—
308	C₂³	—	2	12	no	—
309	C₂³	—	2	12	no	—
310	C₂³	—	2	12	no	—
311	C₂³	—	4	6	no	—
312	C₂³	—	4	6	no	—
313	C₂³	—	4	6	no	—
314	C₂³	—	4	6	no	—
315	C₂³	—	4	6	no	—
316	C₂³	—	4	6	no	—
317	C₂³	—	4	6	no	—
318	C₂³	—	4	6	no	—
319	C₂³	—	4	6	no	—
320	C₂³	—	4	6	no	—
321	C₂³	—	4	6	no	—
322	C₂³	—	4	6	no	—
323	C₂³	—	4	6	no	—
324	C₂³	—	4	6	no	—
325	C₂³	—	4	6	no	—
326	C₂³	—	4	6	no	—
327	C₂³	—	4	6	no	—
328	C₂³	—	4	6	no	—
329	C₂³	—	4	6	no	—
330	C₂³	—	4	6	no	—
331	C₂³	—	4	6	no	—
332	C₂³	—	4	6	no	—
333	C₂³	—	4	6	no	—
334	C₂³	—	4	6	no	—
335	C₂³	—	4	6	no	—
336	C₂³	—	4	6	no	—
337	C₂³	—	4	6	no	—
338	C₂³	—	4	6	no	—
339	C₂³	—	4	1	no	—
340	C₂³	—	4	6	no	—
341	C₂³	—	4	6	no	—
342	C₂³	—	4	3	no	—
343	C₂³	—	4	3	no	—
344	C₂³	—	4	2	no	—
345	C₂³	—	4	6	no	—
346	C₂³	—	4	6	no	—
347	C₂³	—	4	2	no	—
348	C₂³	—	8	48	no	—
349	C₂³	—	8	48	no	—
350	C₂³	—	8	48	no	—
351	C₂³	—	8	48	no	—
352	C₂³	—	8	48	no	—
353	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
354	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
355	C₂³	#585	1	6	yes	—
356	Q₈	—	8	24	no	—
357	D₄	—	8	24	no	—
358	D₄	—	8	48	no	—
359	D₄	—	8	48	no	—
360	C₂×C₄	—	2	12	no	—
361	C₂×C₄	—	2	12	no	—
362	C₂×C₄	—	2	6	no	—
363	C₂×C₄	—	2	6	no	—
364	C₂×C₄	—	2	12	no	—
365	C₂×C₄	—	2	12	no	—
366	C₂×C₄	—	2	12	no	—
367	C₂×C₄	—	2	12	no	—
368	C₂×C₄	—	2	12	no	—
369	C₂×C₄	—	2	12	no	—
370	C₂×C₄	—	4	6	no	—
371	C₂×C₄	—	4	6	no	—
372	C₂×C₄	—	4	6	no	—
373	C₂×C₄	—	4	6	no	—
374	C₂×C₄	—	4	6	no	—
375	C₂×C₄	—	4	6	no	—
376	C₂×C₄	—	4	6	no	—
377	C₂×C₄	—	4	6	no	—
378	C₂×C₄	—	4	3	no	—
379	C₂×C₄	—	4	6	no	—
380	C₂×C₄	—	4	6	no	—
381	C₂×C₄	—	4	6	no	—
382	C₂×C₄	—	4	6	no	—
383	C₂×C₄	—	4	6	no	—
384	C₂×C₄	—	4	3	no	—
385	C₂×C₄	—	4	3	no	—
386	C₂×C₄	—	4	6	no	—
387	C₂×C₄	—	4	6	no	—
388	C₂×C₄	—	4	6	no	—
389	C₂×C₄	—	4	6	no	—
390	C₂×C₄	C₂×#120	1	12	yes	—
391	C₂²	—	4	12	no	—
392	C₂²	—	4	12	no	—
393	C₂²	—	4	12	no	—
394	C₂²	—	4	12	no	—
395	C₂²	—	4	12	no	—
396	C₂²	—	4	12	no	—
397	C₂²	—	4	12	no	—
398	C₂²	—	8	64	no	—
399	C₂²	—	8	6	no	—
400	C₂²	—	8	6	no	—
401	C₂²	—	8	6	no	—
402	C₂²	—	8	6	no	—
403	C₂²	—	8	6	no	—
404	C₂²	—	8	6	no	—
405	C₂²	—	8	6	no	—
406	C₂²	—	8	6	no	—
407	C₂²	—	8	3	no	—
408	C₂²	—	8	6	no	—
409	C₂²	—	8	6	no	—
410	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#3488	1	6	yes	—
412	C₂²	#3496	1	6	yes	—
413	C₂²	#3498	1	3	yes	—
414	C₂²	#3500	1	3	yes	—
415	C₂²	#3532	1	2	yes	—
416	C₂²	#3540	1	6	yes	—
417	C₂²	#3558	1	6	yes	—
418	C₂²	#3568	1	2	yes	—
419	C₄	—	2	12	no	—
420	C₄	—	4	12	no	—
421	C₄	—	4	12	no	—
422	C₄	—	8	3	no	—
423	C₄	—	8	6	no	—
424	C₂	—	8	12	no	—
425	C₂	—	16	1	no	—
426	C₂	#35513	1	3	yes	—
427	C₂	#50655	1	6	yes	—
428	C₂	#51424	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×H(3,𝔽₄)	C₂	semidirect
2. C₂×#2662	C₂	semidirect
3. #15321	C₂	semidirect
4. #15317	C₂	semidirect
5. #15268	C₂	semidirect
6. #15267	C₂	semidirect
7. #14153	C₂	semidirect
9. C₂²×#126	C₂²	semidirect
13. C₂²×#120	C₂²	semidirect
15. C₂×#396	C₂²	semidirect
16. C₂×#395	C₂²	semidirect
19. C₂×#394	C₂²	semidirect
20. C₂×#393	C₂²	semidirect
23. C₂×#391	C₂²	semidirect
25. C₂×#390	C₂²	semidirect
26. C₂×#388	C₂²	semidirect
27. C₂×#379	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
29. #1440	C₂²	semidirect
30. #1439	C₂²	semidirect
31. #1439	C₂²	semidirect
32. #1439	C₂²	semidirect
33. #1439	C₂²	semidirect
36. #1438	C₂²	semidirect
37. #1437	C₂²	semidirect
38. #1437	C₂²	semidirect
39. #1437	C₂²	semidirect
40. #1436	C₂²	semidirect
53. C₂×#124	D₄	semidirect
303. C₄²	#120	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(3,𝔽₄)	2
C₂×#2662	2
#15321	2
#15317	2
#15268	2
#15267	2
#14153	2