Subgroups — #503988

Order 512.

702 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#26254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13407	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#2445	—	2	2	no	—
18	#2246	—	2	4	no	—
19	C₄×D₁₆	—	2	4	no	—
20	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2054	—	2	2	no	—
31	#2041	—	2	2	no	—
32	#1970	C₂²	1	2	yes	—
33	#1970	C₂²	1	2	yes	—
34	#1970	C₂²	1	2	yes	—
35	#1942	C₂²	1	2	yes	—
36	#1879	—	2	2	no	—
37	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1380	C₂²	1	2	yes	—
39	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#123	—	4	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
55	C₂×D₁₆	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#493	—	2	4	no	—
61	#493	—	4	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	4	no	—
63	C₄×D₈	—	4	2	no	—
64	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#394	—	4	2	no	—
75	#394	—	4	2	no	—
76	#390	—	2	2	no	—
77	#390	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#389	—	2	2	no	—
80	#386	—	4	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#366	—	2	2	no	—
83	#366	—	2	2	no	—
84	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
85	#357	—	2	4	no	—
86	#357	—	4	2	no	—
87	#357	—	4	2	no	—
88	#357	—	4	2	no	—
89	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
100	C₂×D₈	—	2	2	no	—
101	C₂×D₈	—	2	2	no	—
102	C₂×D₈	—	2	2	no	—
103	C₂×D₈	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	—	2	2	no	—
105	C₂×D₈	—	2	2	no	—
106	C₂×D₈	—	2	2	no	—
107	C₂×D₈	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	—	4	4	no	—
112	C₂×D₈	—	4	4	no	—
113	C₂×D₈	—	8	2	no	—
114	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	#127	—	4	4	no	—
120	#127	—	8	2	no	—
121	#123	—	8	8	no	—
122	C₄×D₄	—	4	4	no	—
123	C₄×D₄	—	8	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	D₁₆	—	2	8	no	—
140	D₁₆	—	4	8	no	—
141	D₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
150	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
152	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
153	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
154	#107	—	2	2	no	—
155	#107	—	2	2	no	—
156	#107	—	2	2	no	—
157	#107	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	#102	—	4	4	no	—
160	#102	—	8	2	no	—
161	#102	—	8	2	no	—
162	#102	—	8	2	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	C₄×C₈	—	2	1	no	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	#95	—	4	2	no	—
170	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
171	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	—	4	2	no	—
173	C₂⁴	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	8	4	no	—
187	C₂×D₄	—	8	4	no	—
188	C₂×D₄	—	8	4	no	—
189	C₂×D₄	—	8	4	no	—
190	C₂×D₄	—	16	2	no	—
191	C₂×D₄	—	16	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	D₈	—	2	4	no	—
205	D₈	—	2	4	no	—
206	D₈	—	4	2	no	—
207	D₈	—	4	2	no	—
208	D₈	—	4	2	no	—
209	D₈	—	4	2	no	—
210	D₈	—	4	2	no	—
211	D₈	—	4	2	no	—
212	D₈	—	8	8	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
234	C₄⋊C₄	D₁₆	1	4	yes	complemented
235	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
242	C₄²	—	2	1	no	—
243	C₄²	—	2	1	no	—
244	C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	1	no	—
248	C₁₆	—	2	2	no	—
249	C₁₆	—	4	1	no	—
250	C₁₆	—	4	1	no	—
251	C₁₆	#123	1	4	yes	complemented
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	—	8	2	no	—
255	C₂³	—	8	2	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	2	no	—
261	C₂³	—	8	2	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
267	D₄	—	4	4	no	—
268	D₄	—	4	4	no	—
269	D₄	—	8	2	no	—
270	D₄	—	8	2	no	—
271	D₄	—	8	2	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	D₄	—	8	2	no	—
274	D₄	—	8	2	no	—
275	D₄	—	16	8	no	—
276	D₄	—	16	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	16	8	no	—
298	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	4	1	no	—
310	C₈	—	4	1	no	—
311	C₈	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
312	C₈	#540	1	1	yes	characteristic
313	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
314	C₈	#559	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	—	8	4	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	—	8	4	no	—
318	C₂²	—	16	2	no	—
319	C₂²	—	16	2	no	—
320	C₂²	—	16	2	no	—
321	C₂²	—	16	2	no	—
322	C₂²	—	16	2	no	—
323	C₂²	—	16	2	no	—
324	C₂²	—	16	2	no	—
325	C₂²	—	16	2	no	—
326	C₂²	—	16	2	no	—
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	—	16	2	no	—
329	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#3391	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	4	1	no	—
342	C₄	—	16	2	no	—
343	C₄	—	16	2	no	—
344	C₄	#2445	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	16	4	no	—
349	C₂	—	32	2	no	—
350	C₂	#26254	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#33733	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#33740	1	1	yes	characteristic
353	C₂	D₄×D₁₆	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#33846	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33958	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33963	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2246	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₁₆	C₂	semidirect
3. #26254	C₂	semidirect
4. #13448	C₂	semidirect
5. #13407	C₂	semidirect
6. #13235	C₂	semidirect
7. #13235	C₂	semidirect
8. #13235	C₂	semidirect
9. #13165	C₂	semidirect
10. #13012	C₂	semidirect
11. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
234. C₄⋊C₄	D₁₆	semidirect
251. C₁₆	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2246	2
C₂×C₄×D₁₆	2
#26254	2
#13448	2
#13407	2
#13235	2
#13165	2
#13012	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2