Subgroups — #506247

Order 512.

668 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×SD₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#28226	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#28225	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13060	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12889	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2536	—	2	1	no	—
20	#2535	—	2	1	no	—
21	C₄×SD₃₂	—	2	4	no	—
22	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
23	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2035	—	2	2	no	—
32	#2034	—	2	2	no	—
33	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1808	C₂²	1	2	yes	—
36	#1808	C₂²	1	2	yes	—
37	#1805	—	2	1	no	—
38	#1804	—	2	1	no	—
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	#1380	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
52	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
53	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#467	—	2	4	no	—
61	#467	—	4	2	no	—
62	#466	—	2	4	no	—
63	#466	—	4	2	no	—
64	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
65	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
66	C₄×D₈	—	2	2	no	—
67	C₄×D₈	—	2	2	no	—
68	C₈×D₄	—	2	2	no	—
69	C₈×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#106	—	2	1	no	—
75	C₂×#106	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#103	—	2	1	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	1	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#398	—	4	1	no	—
84	#397	—	4	1	no	—
85	#394	—	4	1	no	—
86	#392	—	4	1	no	—
87	#388	—	4	2	no	—
88	#386	—	4	2	no	—
89	#382	—	2	1	no	—
90	#382	—	2	1	no	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	#380	—	2	2	no	—
93	#367	—	2	2	no	—
94	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
95	#358	—	2	2	no	—
96	#358	—	4	2	no	—
97	#357	—	2	2	no	—
98	#357	—	4	2	no	—
99	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
100	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
101	#340	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
106	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
114	C₂×Q₁₆	#41	1	2	yes	—
115	C₂×D₈	—	2	1	no	—
116	C₂×D₈	—	2	1	no	—
117	C₂×D₈	—	2	1	no	—
118	C₂×D₈	—	2	1	no	—
119	C₂×D₈	—	2	1	no	—
120	C₂×D₈	#41	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
132	#121	—	4	4	no	—
133	#121	—	8	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	4	2	no	—
139	C₄×D₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	SD₃₂	—	2	8	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
164	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	#107	—	2	1	no	—
167	#107	—	2	1	no	—
168	#107	—	2	1	no	—
169	#107	—	2	1	no	—
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	2	2	no	—
172	#107	—	2	2	no	—
173	#107	—	2	2	no	—
174	#106	—	8	1	no	—
175	#106	—	8	1	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	#103	—	4	4	no	—
178	#103	—	4	2	no	—
179	#102	—	4	4	no	—
180	#102	—	4	2	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	#95	—	4	1	no	—
187	#95	—	4	1	no	—
188	#95	—	4	1	no	—
189	#95	—	4	1	no	—
190	C₂⁴	—	4	1	no	—
191	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	1	no	—
202	C₂×D₄	—	4	1	no	—
203	C₂×D₄	—	4	1	no	—
204	C₂×D₄	—	4	1	no	—
205	C₂×D₄	—	4	1	no	—
206	C₂×D₄	—	8	4	no	—
207	C₂×D₄	—	8	4	no	—
208	C₂×D₄	—	16	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	Q₁₆	—	2	2	no	—
227	Q₁₆	—	2	2	no	—
228	Q₁₆	—	4	1	no	—
229	Q₁₆	—	4	1	no	—
230	D₈	—	2	2	no	—
231	D₈	—	2	2	no	—
232	D₈	—	4	1	no	—
233	D₈	—	4	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
267	C₄²	—	8	2	no	—
268	C₄²	#121	1	2	yes	—
269	C₄²	#135	1	2	yes	—
270	C₁₆	—	2	2	no	—
271	C₁₆	—	2	2	no	—
272	C₁₆	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	1	no	—
283	C₂³	—	8	1	no	—
284	C₂³	#508	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
286	Q₈	—	4	2	no	—
287	Q₈	—	4	2	no	—
288	Q₈	—	8	1	no	—
289	Q₈	—	8	1	no	—
290	D₄	—	2	8	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	D₄	—	8	1	no	—
294	D₄	—	8	1	no	—
295	D₄	—	16	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	1	no	—
307	C₂×C₄	—	8	1	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	16	4	no	—
319	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
330	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
332	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	16	1	no	—
343	C₂²	—	16	1	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3294	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3294	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
349	C₂²	#3416	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	16	1	no	—
355	C₄	—	16	2	no	—
356	C₄	—	16	1	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	#2535	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3060	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#3303	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#3303	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	4	4	no	—
363	C₂	—	16	2	no	—
364	C₂	#28140	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#33600	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#33609	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#33863	1	2	yes	—
368	C₂	#33868	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#28225	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₄×SD₃₂	C₂	semidirect
2. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
3. #28226	C₂	semidirect
5. #13494	C₂	semidirect
6. #13305	C₂	semidirect
7. #13060	C₂	semidirect
8. #13059	C₂	semidirect
9. #12889	C₂	semidirect
10. #12814	C₂	semidirect
11. #12813	C₂	semidirect
100. C₄×C₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×SD₃₂	2
C₂×D₄×C₁₆	2
#28226	2
#28225	2
#13494	2
#13305	2
#13060	2
#13059	2
#12889	2
#12814	2
#12813	2