Subgroups — #508381

Order 512.

703 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21292	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13415	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13414	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13332	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#13258	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12883	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#510	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#495	—	2	1	no	—
15	C₂×#495	—	2	1	no	—
16	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#492	—	2	1	no	—
21	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2922	—	2	1	no	—
23	#2858	—	2	1	no	—
24	#2211	—	2	4	no	—
25	#2210	—	2	4	no	—
26	#2150	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
31	#2141	C₂²	1	2	yes	—
32	#2140	C₂²	1	2	yes	—
33	#1974	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1974	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1945	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1945	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1937	—	2	1	no	—
38	#1937	—	2	1	no	—
39	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×#104	—	2	1	no	—
41	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1376	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1376	C₂²	1	2	yes	—
44	#1376	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#124	—	2	2	no	—
55	C₂×#124	—	2	2	no	—
56	C₄×#41	—	2	1	no	—
57	#510	—	4	2	no	—
58	#510	—	4	2	no	—
59	#509	—	4	2	no	—
60	#509	—	4	2	no	—
61	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
62	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
63	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
64	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
67	#495	—	2	4	no	—
68	#495	—	2	4	no	—
69	#495	—	4	2	no	—
70	#495	—	4	2	no	—
71	#495	—	4	4	no	—
72	#495	—	4	2	no	—
73	#495	—	4	2	no	—
74	#494	—	4	2	no	—
75	#493	—	4	2	no	—
76	#492	—	4	4	no	—
77	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	complemented
78	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	complemented
80	#433	—	4	2	no	—
81	#431	—	4	2	no	—
82	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#424	—	2	1	no	—
86	#424	—	2	1	no	—
87	C₂×#104	—	2	1	no	—
88	C₂×#104	—	2	1	no	—
89	#416	—	2	1	no	—
90	#408	—	2	1	no	—
91	#408	—	2	1	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#390	—	4	4	no	—
100	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
102	#362	—	4	2	no	—
103	#362	—	4	2	no	—
104	#361	—	4	2	no	—
105	#361	—	4	2	no	—
106	#358	—	2	4	no	—
107	#357	—	2	4	no	—
108	#341	—	2	1	no	—
109	#339	—	2	1	no	—
110	#339	—	2	1	no	—
111	C₂×#41	—	2	1	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	#135	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	2	no	—
137	C₂×D₈	—	2	2	no	—
138	C₂×D₈	—	2	2	no	—
139	C₂×D₈	—	2	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	2	no	—
143	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
152	#127	—	4	2	no	—
153	#127	—	4	2	no	—
154	#124	—	4	4	no	—
155	#124	—	4	4	no	—
156	#124	—	4	2	no	—
157	#124	—	4	2	no	—
158	#124	—	4	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	4	2	no	—
162	#117	—	2	1	no	—
163	#117	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	Q₃₂	—	4	4	no	—
173	SD₃₂	—	4	4	no	—
174	SD₃₂	—	4	4	no	—
175	D₁₆	—	4	4	no	—
176	M₃₂	—	2	2	no	—
177	M₃₂	—	2	2	no	—
178	M₃₂	—	2	2	no	—
179	M₃₂	—	2	2	no	—
180	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
181	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
182	#108	—	2	2	no	—
183	#108	—	2	2	no	—
184	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	#106	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
188	#104	—	4	2	no	—
189	#104	—	4	2	no	—
190	#103	—	2	2	no	—
191	#102	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
194	#97	—	4	1	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	4	1	no	—
200	C₄×C₈	D₈	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	D₈	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
204	C₂⁴	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	1	no	—
206	#41	—	4	1	no	—
207	#41	—	4	1	no	—
208	#41	—	4	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	1	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	8	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	Q₁₆	—	2	2	no	—
234	Q₁₆	—	4	2	no	—
235	Q₁₆	—	4	2	no	—
236	Q₁₆	—	4	2	no	—
237	Q₁₆	—	4	2	no	—
238	Q₁₆	—	8	4	no	—
239	SD₁₆	—	4	2	no	—
240	SD₁₆	—	8	8	no	—
241	SD₁₆	—	8	8	no	—
242	D₈	—	2	2	no	—
243	D₈	—	4	2	no	—
244	D₈	—	4	2	no	—
245	D₈	—	4	2	no	—
246	D₈	—	4	2	no	—
247	D₈	—	8	4	no	—
248	M₁₆	—	4	1	no	—
249	M₁₆	—	4	1	no	—
250	M₁₆	—	4	1	no	—
251	M₁₆	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	4	4	no	—
278	C₄²	—	4	1	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	#121	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
284	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
285	C₁₆	—	4	2	no	—
286	C₁₆	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	1	no	—
288	C₂³	—	8	8	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	1	no	—
294	Q₈	—	4	1	no	—
295	Q₈	—	8	2	no	—
296	Q₈	—	8	2	no	—
297	Q₈	—	8	2	no	—
298	Q₈	—	8	2	no	—
299	D₄	—	4	1	no	—
300	D₄	—	4	1	no	—
301	D₄	—	8	1	no	—
302	D₄	—	8	1	no	—
303	D₄	—	8	2	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	8	2	no	—
307	D₄	—	16	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	8	1	no	—
333	C₈	—	8	1	no	—
334	C₈	#535	1	2	yes	—
335	C₈	#540	1	2	yes	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	8	1	no	—
339	C₂²	—	16	4	no	—
340	C₂²	—	16	4	no	—
341	C₂²	—	16	4	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3217	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3217	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	8	2	no	—
351	C₄	—	8	1	no	—
352	C₄	—	16	2	no	—
353	C₄	#2619	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3038	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#3205	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3205	1	1	yes	characteristic
357	C₂	—	2	1	no	—
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	16	1	no	—
360	C₂	—	32	2	no	—
361	C₂	#29794	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#33594	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#459
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#13331	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33584	C₂	semidirect
2. #33303	C₂	semidirect
3. #21292	C₂	semidirect
4. #13415	C₂	semidirect
5. #13414	C₂	semidirect
6. #13413	C₂	semidirect
7. #13333	C₂	semidirect
8. #13332	C₂	semidirect
10. #13258	C₂	semidirect
11. #12883	C₂	semidirect
77. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect
79. C₄×D₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33584	2
#33303	2
#21292	2
#13415	2
#13414	2
#13413	2
#13333	2
#13332	2
#13331	2
#13258	2
#12883	2