Subgroups — #508385

Order 512.

760 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2248	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13305	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#467	—	2	1	no	—
14	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#466	—	2	1	no	—
16	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2857	—	2	1	no	—
19	#2856	—	2	1	no	—
20	#2248	—	2	4	no	—
21	#2162	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1970	—	2	1	no	—
29	#1970	C₂²	1	2	yes	—
30	#1969	—	2	1	no	—
31	#1969	C₂²	1	2	yes	—
32	#1957	—	2	1	no	—
33	#1956	—	2	1	no	—
34	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1380	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
38	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×#127	—	2	1	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	4	1	no	—
48	C₂×#121	—	4	1	no	—
49	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
51	C₂×SD₃₂	—	4	4	no	—
52	C₂×SD₃₂	—	4	4	no	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	#494	—	2	2	no	—
56	#494	—	2	2	no	—
57	#493	—	2	2	no	—
58	#493	—	2	2	no	—
59	#467	—	4	4	no	—
60	#467	—	4	4	no	—
61	#466	—	4	4	no	—
62	#466	—	4	4	no	—
63	C₂×#107	—	2	1	no	—
64	C₂×#107	—	2	1	no	—
65	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#103	—	2	2	no	—
68	C₂×#103	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#391	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	—	4	1	no	—
80	#390	—	4	1	no	—
81	#389	—	4	1	no	—
82	#389	—	4	1	no	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#384	—	2	1	no	—
85	#380	—	4	1	no	—
86	#380	—	4	1	no	—
87	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	#358	—	4	4	no	—
89	#357	—	4	4	no	—
90	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
91	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
98	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×D₈	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	4	no	—
111	C₂×D₈	—	2	4	no	—
112	C₂×D₈	—	4	2	no	—
113	C₂×D₈	—	4	2	no	—
114	C₂×D₈	—	4	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
128	#127	—	4	2	no	—
129	#127	—	4	2	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
132	#121	—	4	4	no	—
133	#121	—	4	4	no	—
134	#121	—	8	4	no	—
135	#121	—	8	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	SD₃₂	—	4	16	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	#107	—	2	4	no	—
163	#107	—	2	4	no	—
164	#107	—	4	2	no	—
165	#107	—	4	2	no	—
166	#103	—	4	4	no	—
167	#103	—	4	4	no	—
168	#102	—	4	4	no	—
169	#102	—	4	4	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
176	#95	—	4	2	no	—
177	#95	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	8	4	no	—
193	C₂×D₄	—	8	4	no	—
194	C₂×D₄	—	8	4	no	—
195	C₂×D₄	—	8	2	no	—
196	C₂×D₄	—	8	2	no	—
197	C₂×D₄	—	8	2	no	—
198	C₂×D₄	—	8	2	no	—
199	C₂×D₄	—	8	2	no	—
200	C₂×D₄	—	8	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	SD₃₂	1	4	yes	complemented
216	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	Q₁₆	—	4	4	no	—
223	Q₁₆	—	4	4	no	—
224	Q₁₆	—	8	4	no	—
225	D₈	—	4	4	no	—
226	D₈	—	4	4	no	—
227	D₈	—	8	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	1	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	#121	1	2	yes	—
264	C₄²	#135	1	2	yes	—
265	C₁₆	—	2	4	no	—
266	C₁₆	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	8	2	no	—
283	Q₈	—	8	2	no	—
284	Q₈	—	8	2	no	—
285	Q₈	—	8	2	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	2	no	—
290	D₄	—	16	8	no	—
291	D₄	—	16	4	no	—
292	D₄	—	16	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#510	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	4	1	no	—
330	C₈	—	4	1	no	—
331	C₈	#469	1	4	yes	—
332	C₈	#535	1	2	yes	—
333	C₈	#540	1	2	yes	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	4	1	no	—
340	C₂²	—	4	1	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	2	no	—
348	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂²×SD₃₂	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#510	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	4	1	no	—
357	C₄	—	4	1	no	—
358	C₄	—	16	2	no	—
359	C₄	—	16	2	no	—
360	C₄	—	16	2	no	—
361	C₄	#2217	1	4	yes	—
362	C₄	#2220	1	4	yes	—
363	C₄	#2619	1	1	yes	characteristic
364	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
367	C₂	—	4	2	no	—
368	C₂	—	32	2	no	—
369	C₂	#29806	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂×#2217	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#2220	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#33772	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#33773	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#33774	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#33776	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2248	C₂	semidirect
2. C₂×#2162	C₂	semidirect
3. #33172	C₂	semidirect
5. #13449	C₂	semidirect
6. #13305	C₂	semidirect
7. #13203	C₂	semidirect
8. #13202	C₂	semidirect
9. #12888	C₂	semidirect
92. C₄×C₁₆	D₄	semidirect
215. C₂²×C₄	SD₃₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2248	2
C₂×#2162	2
#33172	2
#33171	2
#13449	2
#13305	2
#13203	2
#13202	2
#12888	2