Subgroups — #508391

Order 512.

687 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13449	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13448	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13306	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13304	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#13205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#468	—	2	2	no	—
17	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2620	—	2	2	no	—
21	#2249	—	2	4	no	—
22	#2164	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1973	—	2	2	no	—
34	#1970	C₂²	1	2	yes	—
35	#1969	C₂²	1	2	yes	—
36	#1959	—	2	2	no	—
37	#1845	C₂²	1	2	yes	—
38	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#124	—	2	2	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
51	C₂×Q₃₂	—	4	2	no	—
52	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
53	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
54	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
55	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#495	—	2	4	no	—
62	#495	—	2	4	no	—
63	#468	—	4	8	no	—
64	#467	—	4	2	no	—
65	#467	—	4	2	no	—
66	#466	—	4	2	no	—
67	#466	—	4	2	no	—
68	C₂×#107	—	2	2	no	—
69	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	#405	—	2	2	no	—
76	#405	—	2	2	no	—
77	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#396	—	4	2	no	—
82	#396	—	4	2	no	—
83	#394	—	4	2	no	—
84	#394	—	4	2	no	—
85	#391	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#384	—	2	2	no	—
88	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
90	#358	—	4	2	no	—
91	#358	—	4	2	no	—
92	#357	—	4	2	no	—
93	#357	—	4	2	no	—
94	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
96	#346	—	2	2	no	—
97	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
111	C₂×D₈	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	#124	—	4	4	no	—
128	#124	—	4	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	#121	—	4	4	no	—
132	#121	—	4	4	no	—
133	#117	—	2	2	no	—
134	#117	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	Q₃₂	—	4	4	no	—
153	SD₃₂	—	4	8	no	—
154	D₁₆	—	4	4	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	#107	—	2	2	no	—
164	#107	—	2	2	no	—
165	#107	—	2	2	no	—
166	#107	—	2	2	no	—
167	#107	—	4	4	no	—
168	#103	—	4	4	no	—
169	#103	—	4	4	no	—
170	#102	—	4	4	no	—
171	#102	—	4	4	no	—
172	#97	—	2	2	no	—
173	#97	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	2	1	no	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
178	#95	—	4	2	no	—
179	#95	—	4	2	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	8	4	no	—
195	C₂×D₄	—	16	2	no	—
196	C₂×D₄	—	16	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	Q₁₆	—	4	2	no	—
211	Q₁₆	—	4	2	no	—
212	Q₁₆	—	4	2	no	—
213	Q₁₆	—	4	2	no	—
214	SD₁₆	—	8	8	no	—
215	D₈	—	4	2	no	—
216	D₈	—	4	2	no	—
217	D₈	—	4	2	no	—
218	D₈	—	4	2	no	—
219	M₁₆	—	4	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	1	no	—
225	C₂×C₈	—	4	1	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	#121	1	2	yes	—
253	C₄²	#135	1	2	yes	—
254	C₁₆	—	2	2	no	—
255	C₁₆	—	2	2	no	—
256	C₁₆	—	4	1	no	—
257	C₁₆	—	4	1	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	2	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	2	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	8	2	no	—
272	Q₈	—	8	2	no	—
273	Q₈	—	8	2	no	—
274	Q₈	—	8	2	no	—
275	D₄	—	8	2	no	—
276	D₄	—	8	2	no	—
277	D₄	—	8	2	no	—
278	D₄	—	8	2	no	—
279	D₄	—	16	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
308	C₈	—	4	1	no	—
309	C₈	—	4	1	no	—
310	C₈	#469	1	4	yes	—
311	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
312	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
313	C₈	#540	1	2	yes	—
314	C₂²	—	4	1	no	—
315	C₂²	—	4	1	no	—
316	C₂²	—	4	1	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	16	2	no	—
320	C₂²	—	16	2	no	—
321	C₂²	—	16	2	no	—
322	C₂²	—	16	2	no	—
323	C₂²	—	16	2	no	—
324	C₂²	—	16	2	no	—
325	C₂²	—	16	2	no	—
326	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#3205	1	2	yes	—
328	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#3416	1	2	yes	—
330	C₂²	#3417	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	4	1	no	—
334	C₄	—	4	1	no	—
335	C₄	—	4	1	no	—
336	C₄	—	16	2	no	—
337	C₄	—	16	2	no	—
338	C₄	—	16	2	no	—
339	C₄	#2619	1	1	yes	characteristic
340	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#3207	1	2	yes	—
342	C₂	—	8	1	no	—
343	C₂	—	32	2	no	—
344	C₂	#29806	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#33610	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#33611	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#33790	1	2	yes	—
348	C₂	#33791	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#13304	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2249	C₂	semidirect
2. C₂×#2164	C₂	semidirect
3. #33182	C₂	semidirect
4. #13450	C₂	semidirect
5. #13449	C₂	semidirect
6. #13448	C₂	semidirect
7. #13306	C₂	semidirect
8. #13305	C₂	semidirect
10. #13205	C₂	semidirect
11. #12888	C₂	semidirect
97. C₄×C₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2249	2
C₂×#2164	2
#33182	2
#13450	2
#13449	2
#13448	2
#13306	2
#13305	2
#13304	2
#13205	2
#12888	2