Subgroups — #512088

Order 512.

1090 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2234	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12937	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12935	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#518	—	2	1	no	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2948	—	2	4	no	—
17	#2948	—	2	4	no	—
18	C₂×#442	—	2	2	no	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#418	—	2	1	no	—
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2624	—	2	1	no	—
25	#2234	—	2	4	no	—
26	#2184	—	2	4	no	—
27	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1970	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#1942	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1936	—	2	2	no	—
39	#1895	—	2	1	no	—
40	#1808	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#1374	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#1374	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#121	—	2	1	no	—
56	#518	—	2	8	no	—
57	#518	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
62	C₂×#117	—	2	1	no	—
63	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
65	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
67	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#466	—	2	2	no	—
72	#466	—	2	2	no	—
73	#442	—	2	16	no	—
74	C₄×D₈	—	2	4	no	—
75	C₄×D₈	—	2	4	no	—
76	C₄×D₈	—	2	4	no	—
77	C₄×D₈	—	2	4	no	—
78	#427	—	2	2	no	—
79	#427	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#106	—	2	1	no	—
85	#418	—	2	8	no	—
86	C₂×#102	—	2	2	no	—
87	C₂×#102	—	2	2	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	1	no	—
90	#405	—	2	2	no	—
91	#405	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#399	—	4	1	no	—
95	#397	—	4	1	no	—
96	#394	—	4	2	no	—
97	#390	—	2	2	no	—
98	#389	—	2	2	no	—
99	#380	—	2	1	no	—
100	#367	—	2	2	no	—
101	#366	—	2	2	no	—
102	#357	—	2	4	no	—
103	#357	—	2	4	no	—
104	#357	—	2	4	no	—
105	#357	—	2	2	no	—
106	#357	—	2	2	no	—
107	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
109	#340	—	2	1	no	—
110	#340	—	2	2	no	—
111	C₂⁵	—	4	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×D₈	—	2	8	no	—
124	C₂×D₈	—	2	8	no	—
125	C₂×D₈	—	2	8	no	—
126	C₂×D₈	—	2	16	no	—
127	C₂×D₈	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	2	no	—
129	C₂×D₈	—	2	1	no	—
130	C₂×D₈	—	2	1	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×D₈	#41	1	4	yes	—
137	C₂×D₈	#41	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	#121	—	4	2	no	—
148	#121	—	4	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	8	no	—
150	C₄×D₄	—	2	8	no	—
151	C₄×D₄	—	4	4	no	—
152	C₄×D₄	—	4	4	no	—
153	C₄×D₄	—	4	8	no	—
154	C₄×D₄	—	4	8	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	D₁₆	—	4	8	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
180	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
181	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
182	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
183	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
184	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
185	#107	—	2	1	no	—
186	#107	—	2	1	no	—
187	#107	—	2	1	no	—
188	#107	—	2	1	no	—
189	#107	—	2	2	no	—
190	#107	—	2	2	no	—
191	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	#106	—	2	4	no	—
194	#102	—	2	8	no	—
195	#102	—	2	8	no	—
196	#102	—	4	4	no	—
197	#102	—	4	2	no	—
198	#97	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	#95	—	4	1	no	—
202	#95	—	4	2	no	—
203	C₂⁴	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	—	4	2	no	—
205	C₂⁴	—	4	4	no	—
206	C₂⁴	—	4	1	no	—
207	C₂⁴	—	16	1	no	—
208	C₂⁴	—	16	2	no	—
209	C₂⁴	—	16	1	no	—
210	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂×D₄	—	2	16	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	1	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	1	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	8	2	no	—
227	C₂×D₄	—	16	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
240	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	D₈	—	2	16	no	—
247	D₈	—	2	4	no	—
248	D₈	—	2	4	no	—
249	D₈	—	2	4	no	—
250	D₈	—	4	2	no	—
251	D₈	—	4	1	no	—
252	D₈	—	4	1	no	—
253	D₈	#123	1	8	yes	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	16	1	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₁₆	—	4	2	no	—
290	C₁₆	—	4	1	no	—
291	C₁₆	—	4	1	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	1	no	—
296	C₂³	—	4	16	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	1	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	1	no	—
308	C₂³	—	8	1	no	—
309	C₂³	—	16	4	no	—
310	C₂³	—	16	4	no	—
311	C₂³	—	16	8	no	—
312	C₂³	—	16	8	no	—
313	C₂³	#447	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	4	16	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	D₄	—	8	1	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	1	no	—
323	D₄	—	16	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	1	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	1	no	—
344	C₂×C₄	—	16	8	no	—
345	C₂×C₄	—	16	8	no	—
346	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	C₂×#123	1	2	yes	—
354	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
355	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	8	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	16	16	no	—
369	C₂²	—	16	2	no	—
370	C₂²	—	16	2	no	—
371	C₂²	—	16	1	no	—
372	C₂²	—	16	1	no	—
373	C₂²	—	16	1	no	—
374	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3100	1	2	yes	—
376	C₂²	#3415	1	2	yes	—
377	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#3416	1	1	yes	characteristic
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	—	16	2	no	—
385	C₄	—	16	1	no	—
386	C₄	#2849	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3005	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3114	1	2	yes	—
389	C₂	—	4	2	no	—
390	C₂	—	8	8	no	—
391	C₂	—	32	1	no	—
392	C₂	#33002	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#33522	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#33526	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#33678	1	2	yes	—
396	C₂	#33682	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2184	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2948	C₂	semidirect
2. C₂×#2234	C₂	semidirect
4. #33138	C₂	semidirect
5. #13012	C₂	semidirect
6. #13012	C₂	semidirect
7. #12937	C₂	semidirect
8. #12935	C₂	semidirect
9. #12868	C₂	semidirect
10. #12845	C₂	semidirect
11. #12731	C₂	semidirect
27. C₂×#367	C₂²	semidirect
28. C₂×#366	C₂²	semidirect
32. C₂×#357	C₂²	semidirect
33. C₂×#357	C₂²	semidirect
36. #1970	C₂²	semidirect
37. #1942	C₂²	semidirect
41. #1380	C₂²	semidirect
42. #1380	C₂²	semidirect
43. #1374	C₂²	semidirect
44. #1374	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2948	2
C₂×#2234	2
C₂×#2184	2
#33138	2
#13012	2
#12937	2
#12935	2
#12868	2
#12845	2
#12731	2