Subgroups — #512194

Order 512.

758 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13147	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#13059	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#12888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#466	—	2	1	no	—
14	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2857	—	2	1	no	—
17	#2856	—	2	1	no	—
18	#2240	—	2	4	no	—
19	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1990	—	2	1	no	—
26	#1970	—	2	1	no	—
27	#1970	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	—	2	1	no	—
29	#1942	—	2	1	no	—
30	#1942	C₂²	1	2	yes	—
31	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1808	—	2	1	no	—
34	#1808	C₂²	1	2	yes	—
35	#1380	C₂²	1	4	yes	—
36	#1380	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×#127	—	2	1	no	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	C₂×#121	—	4	1	no	—
46	C₂×#121	—	4	1	no	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	#500	—	2	2	no	—
54	#500	—	2	2	no	—
55	#493	—	2	2	no	—
56	#493	—	2	2	no	—
57	#466	—	2	8	no	—
58	#466	—	4	4	no	—
59	C₂×#107	—	2	1	no	—
60	C₂×#107	—	2	1	no	—
61	C₂×#107	—	2	1	no	—
62	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#102	—	2	2	no	—
66	C₂×#102	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#391	—	4	1	no	—
74	#390	—	2	2	no	—
75	#390	—	4	1	no	—
76	#390	—	4	1	no	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#389	—	4	1	no	—
79	#384	—	2	1	no	—
80	#384	—	2	1	no	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	#380	—	4	1	no	—
83	#357	—	2	8	no	—
84	#357	—	2	8	no	—
85	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
95	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×D₈	—	2	2	no	—
99	C₂×D₈	—	2	4	no	—
100	C₂×D₈	—	2	4	no	—
101	C₂×D₈	—	2	2	no	—
102	C₂×D₈	—	4	2	no	—
103	C₂×D₈	—	4	2	no	—
104	C₂×D₈	—	4	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	SD₁₆	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
118	#127	—	4	2	no	—
119	#127	—	4	2	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
121	#121	—	4	4	no	—
122	#121	—	4	4	no	—
123	#121	—	8	4	no	—
124	#121	—	8	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
151	#107	—	2	2	no	—
152	#107	—	2	4	no	—
153	#107	—	2	4	no	—
154	#107	—	2	2	no	—
155	#107	—	4	2	no	—
156	#107	—	4	2	no	—
157	#107	—	4	2	no	—
158	#102	—	4	4	no	—
159	#102	—	4	4	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
166	#95	—	4	2	no	—
167	#95	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	8	4	no	—
180	C₂×D₄	—	8	4	no	—
181	C₂×D₄	—	8	4	no	—
182	C₂×D₄	—	8	2	no	—
183	C₂×D₄	—	8	2	no	—
184	C₂×D₄	—	8	2	no	—
185	C₂×D₄	—	8	2	no	—
186	C₂×D₄	—	8	2	no	—
187	C₂×D₄	—	8	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	D₁₆	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	SD₃₂	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	D₈	—	4	4	no	—
210	D₈	—	4	4	no	—
211	D₈	—	8	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
244	C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	#121	1	2	yes	—
249	C₄²	#135	1	2	yes	—
250	C₁₆	—	2	4	no	—
251	C₁₆	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	2	1	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	—	8	2	no	—
261	C₂³	—	8	2	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	#486	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
266	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
267	Q₈	—	16	4	no	—
268	D₄	—	8	2	no	—
269	D₄	—	8	2	no	—
270	D₄	—	8	2	no	—
271	D₄	—	8	2	no	—
272	D₄	—	16	8	no	—
273	D₄	—	16	4	no	—
274	D₄	—	16	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	2	no	—
313	C₈	#465	1	4	yes	—
314	C₈	#525	1	2	yes	—
315	C₈	#529	1	2	yes	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	16	2	no	—
323	C₂²	—	16	2	no	—
324	C₂²	—	16	2	no	—
325	C₂²	—	16	2	no	—
326	C₂²	—	16	2	no	—
327	C₂²	—	16	2	no	—
328	C₂²	—	16	2	no	—
329	C₂²	#2240	1	4	yes	complemented
330	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×SD₃₂	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	16	2	no	—
341	C₄	—	16	2	no	—
342	C₄	—	16	2	no	—
343	C₄	#2215	1	4	yes	—
344	C₄	#2217	1	4	yes	—
345	C₄	#2850	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3131	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#3167	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	32	2	no	—
351	C₂	#33042	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#2215	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#2217	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×#2240	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33697	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33733	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#33736	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33171	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2240	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄×C₁₆	C₂	semidirect
3. #33209	C₂	semidirect
5. #13282	C₂	semidirect
6. #13202	C₂	semidirect
7. #13147	C₂	semidirect
8. #13059	C₂	semidirect
9. #12888	C₂	semidirect
87. C₄×C₁₆	D₄	semidirect
329. C₂²	#2240	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2240	2
C₂²×C₄×C₁₆	2
#33209	2
#33171	2
#13282	2
#13202	2
#13147	2
#13059	2
#12888	2