Subgroups — #512197

Order 512.

670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13149	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13147	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#13059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12889	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#469	—	2	1	no	—
17	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2628	—	2	1	no	—
20	#2619	—	2	1	no	—
21	#2240	—	2	4	no	—
22	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	#2108	—	2	4	no	—
27	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1993	—	2	1	no	—
32	#1972	—	2	1	no	—
33	#1970	C₂²	1	2	yes	—
34	#1961	—	2	1	no	—
35	#1944	—	2	1	no	—
36	#1942	C₂²	1	2	yes	—
37	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1809	—	2	1	no	—
40	#1808	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	#1380	C₂²	1	2	yes	—
43	#1380	C₂²	1	2	yes	—
44	#1380	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
54	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
55	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#500	—	2	2	no	—
64	#500	—	2	2	no	—
65	#493	—	2	2	no	—
66	#493	—	2	2	no	—
67	#469	—	4	4	no	—
68	#466	—	2	4	no	—
69	#466	—	2	4	no	—
70	C₂×#107	—	2	1	no	—
71	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#106	—	2	1	no	—
75	C₂×#106	—	2	1	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	#405	—	2	2	no	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#400	—	4	1	no	—
85	#399	—	4	1	no	—
86	#395	—	4	1	no	—
87	#394	—	4	1	no	—
88	#394	—	4	1	no	—
89	#393	—	4	1	no	—
90	#392	—	4	1	no	—
91	#392	—	4	1	no	—
92	#390	—	2	2	no	—
93	#389	—	2	2	no	—
94	#382	—	2	1	no	—
95	#382	—	2	1	no	—
96	#380	—	2	2	no	—
97	#357	—	2	4	no	—
98	#357	—	2	4	no	—
99	#357	—	2	4	no	—
100	#357	—	2	4	no	—
101	#346	—	2	2	no	—
102	#346	—	2	2	no	—
103	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
104	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
105	#340	—	2	2	no	—
106	#340	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	4	2	no	—
120	C₂×D₈	—	4	2	no	—
121	C₂×D₈	—	4	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
137	#127	—	4	2	no	—
138	#127	—	4	2	no	—
139	#121	—	4	4	no	—
140	#121	—	4	4	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	M₃₂	—	2	8	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
168	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
171	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
172	#107	—	2	2	no	—
173	#107	—	2	2	no	—
174	#107	—	2	2	no	—
175	#107	—	2	2	no	—
176	#107	—	2	2	no	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	4	2	no	—
179	#106	—	4	2	no	—
180	#106	—	4	2	no	—
181	#102	—	4	4	no	—
182	#102	—	4	4	no	—
183	#97	—	2	2	no	—
184	#97	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
189	#95	—	4	2	no	—
190	#95	—	4	1	no	—
191	#95	—	4	1	no	—
192	#95	—	4	1	no	—
193	#95	—	4	1	no	—
194	#95	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
197	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	8	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	2	no	—
207	C₂×D₄	—	8	2	no	—
208	C₂×D₄	—	16	2	no	—
209	C₂×D₄	—	16	2	no	—
210	C₂×D₄	—	16	2	no	—
211	C₂×D₄	—	16	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	D₈	—	4	2	no	—
228	D₈	—	4	2	no	—
229	D₈	—	4	2	no	—
230	D₈	—	4	2	no	—
231	D₈	—	8	4	no	—
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	#121	1	2	yes	—
271	C₄²	#135	1	2	yes	—
272	C₁₆	—	2	2	no	—
273	C₁₆	—	2	2	no	—
274	C₁₆	—	2	2	no	—
275	C₁₆	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	#486	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	16	4	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	2	no	—
293	D₄	—	8	2	no	—
294	D₄	—	16	4	no	—
295	D₄	—	16	4	no	—
296	D₄	—	16	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	2	2	no	—
329	C₈	#465	1	4	yes	—
330	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
332	C₈	#529	1	1	yes	characteristic
333	C₈	#529	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	4	1	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	16	2	no	—
340	C₂²	—	16	2	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3415	1	2	yes	—
350	C₂²	#3416	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	4	1	no	—
355	C₄	—	4	1	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	—	16	2	no	—
359	C₄	#2850	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#3131	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#3167	1	1	yes	characteristic
363	C₂	—	4	2	no	—
364	C₂	—	32	2	no	—
365	C₂	#33042	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#33607	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#33609	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#33702	1	2	yes	—
369	C₂	#33744	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33179	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2240	C₂	semidirect
2. C₂×#2108	C₂	semidirect
3. #33215	C₂	semidirect
5. #13283	C₂	semidirect
6. #13206	C₂	semidirect
7. #13149	C₂	semidirect
8. #13147	C₂	semidirect
9. #13061	C₂	semidirect
10. #13059	C₂	semidirect
11. #12889	C₂	semidirect
104. C₄×C₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2240	2
C₂×#2108	2
#33215	2
#33179	2
#13283	2
#13206	2
#13149	2
#13147	2
#13061	2
#13059	2
#12889	2