Subgroups — #512374

Order 512.

830 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13262	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#13258	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12900	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#510	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#495	—	2	1	no	—
15	C₂×#495	—	2	1	no	—
16	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#492	—	2	1	no	—
21	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#131	—	2	1	no	—
25	#2858	—	2	1	no	—
26	#2214	—	2	4	no	—
27	#2213	—	2	4	no	—
28	#2212	—	2	8	no	—
29	#2211	—	2	4	no	—
30	#2210	—	2	4	no	—
31	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2150	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
39	#2141	C₂²	1	2	yes	—
40	#2140	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1764	—	2	1	no	—
45	#1764	—	2	1	no	—
46	C₄×#104	—	2	1	no	—
47	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#131	—	2	1	no	—
56	C₂×#131	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	1	no	—
59	C₂×#124	—	2	2	no	—
60	C₂×#124	—	2	2	no	—
61	C₄×#41	—	2	1	no	—
62	#510	—	2	4	no	—
63	#510	—	2	4	no	—
64	#509	—	2	4	no	—
65	#509	—	2	4	no	—
66	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
67	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
68	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
69	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
72	#495	—	2	4	no	—
73	#495	—	2	4	no	—
74	#495	—	2	4	no	—
75	#495	—	2	4	no	—
76	#495	—	4	4	no	—
77	#495	—	4	1	no	—
78	#495	—	4	1	no	—
79	#495	—	4	1	no	—
80	#495	—	4	1	no	—
81	#494	—	2	2	no	—
82	#494	—	2	2	no	—
83	#493	—	2	2	no	—
84	#493	—	2	2	no	—
85	#492	—	4	4	no	—
86	#443	—	2	2	no	—
87	#443	—	2	2	no	—
88	#443	D₄	1	4	yes	—
89	#443	D₄	1	4	yes	complemented
90	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	complemented
91	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	complemented
93	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#104	—	2	1	no	—
97	C₂×#104	—	2	1	no	—
98	#416	—	2	1	no	—
99	#405	—	2	1	no	—
100	#405	—	2	1	no	—
101	#405	—	4	1	no	—
102	#405	—	4	1	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
104	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#390	—	4	4	no	—
113	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
114	#364	—	2	4	no	—
115	#364	—	2	2	no	—
116	#364	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
118	#362	—	2	4	no	—
119	#362	—	2	4	no	—
120	#361	—	2	4	no	—
121	#361	—	2	4	no	—
122	#358	—	2	4	no	—
123	#357	—	2	4	no	—
124	#341	—	2	1	no	—
125	#339	—	2	1	no	—
126	#339	—	2	1	no	—
127	C₂×#41	—	2	1	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
131	#135	—	2	1	no	—
132	#135	—	2	1	no	—
133	#135	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	#135	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
145	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
153	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
154	C₂×D₈	—	2	2	no	—
155	C₂×D₈	—	2	2	no	—
156	C₂×D₈	—	2	2	no	—
157	C₂×D₈	—	2	2	no	—
158	C₂×D₈	—	2	2	no	—
159	C₂×D₈	—	2	2	no	—
160	C₂×D₈	—	4	2	no	—
161	C₂×D₈	—	4	1	no	—
162	C₂×D₈	—	4	1	no	—
163	C₂×D₈	—	4	2	no	—
164	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	#131	—	2	4	no	—
166	#131	—	2	4	no	—
167	#131	—	4	2	no	—
168	#131	—	4	2	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
171	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
172	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
173	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
174	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
181	#127	—	4	2	no	—
182	#127	—	4	2	no	—
183	#124	—	4	4	no	—
184	#124	—	4	4	no	—
185	#124	—	4	4	no	—
186	#124	—	4	2	no	—
187	#124	—	4	2	no	—
188	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₄×D₄	—	2	2	no	—
190	C₄×D₄	—	4	2	no	—
191	#117	—	2	1	no	—
192	#117	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	Q₃₂	—	4	4	no	—
202	SD₃₂	—	4	4	no	—
203	SD₃₂	—	4	4	no	—
204	D₁₆	—	4	4	no	—
205	M₃₂	—	2	2	no	—
206	M₃₂	—	2	2	no	—
207	M₃₂	—	2	2	no	—
208	M₃₂	—	2	2	no	—
209	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
210	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
211	#108	—	2	1	no	—
212	#108	—	2	1	no	—
213	#108	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	#108	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	#106	—	2	1	no	—
217	#104	—	2	4	no	—
218	#104	—	2	4	no	—
219	#103	—	2	2	no	—
220	#102	—	2	2	no	—
221	#97	—	4	1	no	—
222	#97	—	4	1	no	—
223	#97	—	4	1	no	—
224	C₄×C₈	—	2	2	no	—
225	C₄×C₈	—	2	2	no	—
226	C₄×C₈	—	4	1	no	—
227	C₄×C₈	—	4	1	no	—
228	C₄×C₈	—	4	1	no	—
229	C₄×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
230	C₄×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
231	C₄×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
232	C₄×C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
236	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
237	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
238	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
239	C₂⁴	—	4	2	no	—
240	#41	—	2	2	no	—
241	#41	—	2	2	no	—
242	#41	—	4	1	no	—
243	#41	—	4	1	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	1	no	—
252	C₂×D₄	—	4	1	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	—	2	1	no	—
269	Q₁₆	—	4	2	no	—
270	Q₁₆	—	4	2	no	—
271	Q₁₆	—	4	2	no	—
272	Q₁₆	—	4	2	no	—
273	Q₁₆	—	8	2	no	—
274	Q₁₆	—	8	2	no	—
275	Q₁₆	#127	1	2	yes	—
276	SD₁₆	—	2	2	no	—
277	SD₁₆	—	2	2	no	—
278	SD₁₆	—	8	8	no	—
279	SD₁₆	—	8	4	no	—
280	SD₁₆	—	8	4	no	—
281	D₈	—	2	1	no	—
282	D₈	—	4	2	no	—
283	D₈	—	4	2	no	—
284	D₈	—	4	2	no	—
285	D₈	—	4	2	no	—
286	D₈	—	8	2	no	—
287	D₈	—	8	2	no	—
288	D₈	#127	1	2	yes	—
289	M₁₆	—	2	2	no	—
290	M₁₆	—	2	2	no	—
291	M₁₆	—	4	1	no	—
292	M₁₆	—	4	1	no	—
293	M₁₆	—	4	4	no	—
294	M₁₆	—	4	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	1	no	—
297	C₂×C₈	—	4	1	no	—
298	C₂×C₈	—	4	1	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₂×C₈	—	4	4	no	—
301	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
324	C₄²	—	2	1	no	—
325	C₄²	—	2	1	no	—
326	C₄²	—	4	4	no	—
327	C₄²	—	4	1	no	—
328	C₄²	—	4	2	no	—
329	C₄²	#121	1	2	yes	—
330	C₄²	#121	1	2	yes	—
331	C₄²	#121	1	2	yes	—
332	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
333	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
334	C₁₆	—	4	2	no	—
335	C₁₆	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	1	no	—
337	C₂³	—	8	8	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
342	Q₈	—	2	2	no	—
343	Q₈	—	4	1	no	—
344	Q₈	—	8	2	no	—
345	Q₈	—	8	2	no	—
346	Q₈	—	8	2	no	—
347	Q₈	—	8	2	no	—
348	D₄	—	2	2	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	1	no	—
352	D₄	—	8	2	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	16	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
378	C₈	—	2	2	no	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₈	—	4	2	no	—
381	C₈	#459	1	2	yes	—
382	C₈	#459	1	2	yes	—
383	C₈	#459	1	2	yes	—
384	C₈	#459	1	2	yes	—
385	C₈	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
386	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
387	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
388	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	16	4	no	—
393	C₂²	—	16	4	no	—
394	C₂²	—	16	4	no	—
395	C₂²	—	16	2	no	—
396	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#3038	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3038	1	1	yes	characteristic
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	8	2	no	—
405	C₄	—	16	2	no	—
406	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
407	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
408	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3038	1	1	yes	characteristic
410	C₂	—	2	1	no	—
411	C₂	—	2	1	no	—
412	C₂	—	8	2	no	—
413	C₂	—	32	2	no	—
414	C₂	#33160	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#33594	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#459
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2213	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2214	C₂	semidirect
3. C₂×#2212	C₂	semidirect
4. #33584	C₂	semidirect
5. #33303	C₂	semidirect
6. C₄×#443	C₂	semidirect
7. #13262	C₂	semidirect
8. #13261	C₂	semidirect
9. #13260	C₂	semidirect
10. #13258	C₂	semidirect
11. #12900	C₂	semidirect
89. #443	D₄	semidirect
90. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect
92. C₄×D₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2214	2
C₂×#2213	2
C₂×#2212	2
#33584	2
#33303	2
C₄×#443	2
#13262	2
#13261	2
#13260	2
#13258	2
#12900	2