Subgroups — #512380

Order 512.

846 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2217	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2216	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33173	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13237	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13236	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12907	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#465	—	2	2	no	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2850	—	2	2	no	—
23	#2249	—	2	4	no	—
24	#2217	—	2	8	no	—
25	#2216	—	2	4	no	—
26	#2215	—	2	4	no	—
27	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1970	C₂²	1	2	yes	—
40	#1969	C₂²	1	2	yes	—
41	#1968	—	2	2	no	—
42	#1958	—	2	2	no	—
43	#1846	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#124	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
54	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
55	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
56	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
57	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
58	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
59	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#495	—	2	4	no	—
73	#495	—	2	4	no	—
74	#467	—	2	4	no	—
75	#467	—	2	4	no	—
76	#466	—	2	4	no	—
77	#466	—	2	4	no	—
78	#465	—	4	8	no	—
79	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#106	—	2	2	no	—
82	C₂×#103	—	2	2	no	—
83	C₂×#103	—	2	2	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	C₂×#102	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#391	—	2	2	no	—
93	#390	—	2	2	no	—
94	#388	—	4	4	no	—
95	#386	—	4	4	no	—
96	#382	—	2	2	no	—
97	#367	—	2	4	no	—
98	#366	—	2	2	no	—
99	#366	—	2	2	no	—
100	#358	—	2	4	no	—
101	#358	—	2	4	no	—
102	#357	—	2	4	no	—
103	#357	—	2	4	no	—
104	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
105	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
106	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
107	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	—	2	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#124	—	4	4	no	—
142	#124	—	4	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
145	#121	—	4	4	no	—
146	#121	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	Q₃₂	—	4	4	no	—
160	SD₃₂	—	4	8	no	—
161	D₁₆	—	4	4	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
168	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
175	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
176	#107	—	2	2	no	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	2	2	no	—
179	#107	—	2	2	no	—
180	#106	—	4	4	no	—
181	#103	—	4	4	no	—
182	#103	—	4	4	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#102	—	4	4	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	2	1	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
191	#95	—	4	4	no	—
192	#95	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	8	4	no	—
208	C₂×D₄	—	8	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	Q₁₆	—	4	2	no	—
226	Q₁₆	—	4	2	no	—
227	Q₁₆	—	4	2	no	—
228	Q₁₆	—	4	2	no	—
229	SD₁₆	—	8	8	no	—
230	D₈	—	4	2	no	—
231	D₈	—	4	2	no	—
232	D₈	—	4	2	no	—
233	D₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	#121	1	2	yes	—
267	C₄²	#135	1	2	yes	—
268	C₁₆	—	2	2	no	—
269	C₁₆	—	2	2	no	—
270	C₁₆	#121	1	4	yes	—
271	C₁₆	#121	1	4	yes	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	—	8	4	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	#493	1	2	yes	—
281	C₂³	#508	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	8	2	no	—
284	Q₈	—	8	2	no	—
285	Q₈	—	8	2	no	—
286	Q₈	—	8	2	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	2	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	16	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#508	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	2	no	—
320	C₈	—	2	2	no	—
321	C₈	#466	1	4	yes	—
322	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
323	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
325	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	16	4	no	—
331	C₂²	—	16	2	no	—
332	C₂²	—	16	2	no	—
333	C₂²	—	16	2	no	—
334	C₂²	—	16	4	no	—
335	C₂²	#2249	1	4	yes	complemented
336	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	16	2	no	—
345	C₄	—	16	2	no	—
346	C₄	—	16	2	no	—
347	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
351	C₂	—	2	4	no	—
352	C₂	—	32	2	no	—
353	C₂	#33171	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#33600	1	2	yes	—
355	C₂	C₂×#2249	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33713	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#33735	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2215	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2249	C₂	semidirect
2. C₂×#2217	C₂	semidirect
3. C₂×#2216	C₂	semidirect
5. C₂²×C₄×C₁₆	C₂	semidirect
6. #33173	C₂	semidirect
7. #13237	C₂	semidirect
8. #13236	C₂	semidirect
9. #13235	C₂	semidirect
10. #13204	C₂	semidirect
11. #12907	C₂	semidirect
107. C₄×C₁₆	D₄	semidirect
335. C₂²	#2249	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2249	2
C₂×#2217	2
C₂×#2216	2
C₂×#2215	2
C₂²×C₄×C₁₆	2
#33173	2
#13237	2
#13236	2
#13235	2
#13204	2
#12907	2