Subgroups — #512387

Order 512.

812 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2248	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2217	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#13238	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13237	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12907	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#470	—	2	1	no	—
19	C₂×#469	—	2	1	no	—
20	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2621	—	2	1	no	—
24	#2619	—	2	1	no	—
25	#2248	—	2	4	no	—
26	#2220	—	2	8	no	—
27	#2217	—	2	8	no	—
28	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
34	#2108	—	2	4	no	—
35	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1972	—	2	1	no	—
40	#1971	—	2	1	no	—
41	#1970	C₂²	1	2	yes	—
42	#1969	C₂²	1	2	yes	—
43	#1961	—	2	1	no	—
44	#1960	—	2	1	no	—
45	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
48	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×#121	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
59	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
60	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
61	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
62	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
63	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
64	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
65	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
66	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	complemented
67	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#494	—	2	2	no	—
75	#494	—	2	2	no	—
76	#493	—	2	2	no	—
77	#493	—	2	2	no	—
78	#470	—	4	4	no	—
79	#469	—	4	4	no	—
80	#467	—	2	4	no	—
81	#467	—	2	4	no	—
82	#466	—	2	4	no	—
83	#466	—	2	4	no	—
84	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#106	—	2	1	no	—
87	C₂×#106	—	2	1	no	—
88	C₂×#103	—	2	2	no	—
89	C₂×#103	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	#405	—	2	2	no	—
93	#405	—	2	2	no	—
94	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#398	—	4	2	no	—
99	#397	—	4	2	no	—
100	#394	—	4	2	no	—
101	#392	—	4	2	no	—
102	#391	—	2	2	no	—
103	#390	—	2	2	no	—
104	#382	—	2	1	no	—
105	#382	—	2	1	no	—
106	#367	—	2	4	no	—
107	#366	—	2	4	no	—
108	#358	—	2	4	no	—
109	#358	—	2	4	no	—
110	#357	—	2	4	no	—
111	#357	—	2	4	no	—
112	#346	—	2	2	no	—
113	#346	—	2	2	no	—
114	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
115	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
116	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
130	C₂×D₈	—	2	2	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	4	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	D₈	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
154	#127	—	4	2	no	—
155	#127	—	4	2	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
158	#121	—	4	4	no	—
159	#121	—	4	4	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	SD₃₂	—	4	8	no	—
174	SD₃₂	—	4	8	no	—
175	M₃₂	—	2	8	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
180	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
181	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
188	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
189	#107	—	2	2	no	—
190	#107	—	2	2	no	—
191	#107	—	2	2	no	—
192	#107	—	2	2	no	—
193	#106	—	4	2	no	—
194	#106	—	4	2	no	—
195	#103	—	4	4	no	—
196	#103	—	4	4	no	—
197	#102	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	#97	—	2	2	no	—
200	#97	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	2	1	no	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
205	#95	—	4	2	no	—
206	#95	—	4	2	no	—
207	#95	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	—	4	2	no	—
209	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	8	4	no	—
223	C₂×D₄	—	8	4	no	—
224	C₂×D₄	—	16	4	no	—
225	C₂×D₄	—	16	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	Q₁₆	—	4	2	no	—
240	Q₁₆	—	4	2	no	—
241	Q₁₆	—	4	2	no	—
242	Q₁₆	—	4	2	no	—
243	Q₁₆	—	8	4	no	—
244	D₈	—	4	2	no	—
245	D₈	—	4	2	no	—
246	D₈	—	4	2	no	—
247	D₈	—	4	2	no	—
248	D₈	—	8	4	no	—
249	M₁₆	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	#121	1	2	yes	—
283	C₄²	#135	1	2	yes	—
284	C₁₆	—	2	2	no	—
285	C₁₆	—	2	2	no	—
286	C₁₆	#121	1	4	yes	—
287	C₁₆	#121	1	4	yes	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	4	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	2	no	—
296	C₂³	#493	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	8	2	no	—
299	Q₈	—	8	2	no	—
300	Q₈	—	8	2	no	—
301	Q₈	—	8	2	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	D₄	—	8	2	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	16	8	no	—
307	D₄	—	16	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	#466	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	2	2	no	—
334	C₈	#466	1	4	yes	—
335	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	16	4	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	—	16	2	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	—	16	4	no	—
348	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#3416	1	4	yes	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	16	2	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	4	2	no	—
363	C₂	—	32	2	no	—
364	C₂	#33171	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#33609	1	2	yes	—
366	C₂	#33722	1	2	yes	—
367	C₂	#33743	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33179	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2248	C₂	semidirect
2. C₂×#2220	C₂	semidirect
3. C₂×#2217	C₂	semidirect
4. C₂×#2108	C₂	semidirect
5. #33180	C₂	semidirect
7. #13238	C₂	semidirect
8. #13237	C₂	semidirect
9. #13207	C₂	semidirect
10. #13206	C₂	semidirect
11. #12907	C₂	semidirect
66. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
69. C₂²×C₁₆	D₄	semidirect
115. C₄×C₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2248	2
C₂×#2220	2
C₂×#2217	2
C₂×#2108	2
#33180	2
#33179	2
#13238	2
#13237	2
#13207	2
#13206	2
#12907	2