Subgroups — #512399

Order 512.

748 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2223	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2222	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2221	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₄×#504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33192	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13246	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13245	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13244	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13214	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12909	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#473	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#472	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#471	—	2	2	no	—
21	#3040	—	2	2	no	—
22	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2249	—	2	1	no	—
24	#2249	—	2	1	no	—
25	#2249	—	2	1	no	—
26	#2249	—	2	1	no	—
27	#2223	—	2	8	no	—
28	#2222	—	2	4	no	—
29	#2221	—	2	4	no	—
30	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#362	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
37	#2108	—	2	1	no	—
38	#2108	—	2	1	no	—
39	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×M₃₂	—	2	1	no	—
42	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1979	C₂²	1	2	yes	—
46	#1978	C₂²	1	2	yes	—
47	#1977	—	2	2	no	—
48	#1967	—	2	2	no	—
49	#1848	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×#137	—	2	2	no	—
51	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#124	—	2	2	no	—
58	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
60	C₂×Q₃₂	—	2	1	no	—
61	C₂×Q₃₂	—	2	1	no	—
62	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
63	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
64	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
65	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
66	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
67	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
69	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
70	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
71	#504	—	2	2	no	—
72	#504	—	2	2	no	—
73	#504	D₄	1	4	yes	—
74	#504	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
76	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
77	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#495	—	2	2	no	—
84	#495	—	2	2	no	—
85	#495	—	2	2	no	—
86	#495	—	2	2	no	—
87	#473	—	2	4	no	—
88	#473	—	2	4	no	—
89	#472	—	2	4	no	—
90	#472	—	2	4	no	—
91	#471	—	4	8	no	—
92	#464	—	4	4	no	—
93	#463	—	4	4	no	—
94	C₂×#108	—	2	2	no	—
95	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
97	#423	—	2	2	no	—
98	#419	—	2	2	no	—
99	#418	—	2	2	no	—
100	C₂×#101	—	2	2	no	—
101	C₂×#101	—	2	2	no	—
102	C₂×#100	—	2	2	no	—
103	C₂×#100	—	2	2	no	—
104	#405	—	2	1	no	—
105	#405	—	2	1	no	—
106	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
107	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
109	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#368	—	2	2	no	—
113	#368	—	2	2	no	—
114	#368	—	2	4	no	—
115	#362	—	2	4	no	—
116	#362	—	2	4	no	—
117	#361	—	2	4	no	—
118	#361	—	2	4	no	—
119	#346	—	2	1	no	—
120	#346	—	2	1	no	—
121	#346	—	2	1	no	—
122	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
123	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
124	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
125	C₄×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄×C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	#137	—	4	4	no	—
133	#137	—	4	4	no	—
134	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
135	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×D₈	—	2	2	no	—
150	C₂×D₈	—	2	2	no	—
151	C₂×D₈	—	2	2	no	—
152	C₂×D₈	—	2	2	no	—
153	C₂×D₈	—	2	2	no	—
154	C₂×D₈	—	2	2	no	—
155	C₂×D₈	—	4	2	no	—
156	#131	—	2	2	no	—
157	#131	—	2	1	no	—
158	#131	—	2	1	no	—
159	#131	D₈	1	4	yes	—
160	#131	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	#131	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	#124	—	4	2	no	—
173	#124	—	4	2	no	—
174	#124	—	4	4	no	—
175	C₄×Q₈	D₈	1	2	yes	—
176	C₄×D₄	—	2	2	no	—
177	C₄×D₄	D₈	1	2	yes	—
178	#117	—	2	1	no	—
179	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	Q₃₂	—	4	2	no	—
184	Q₃₂	—	4	2	no	—
185	SD₃₂	—	4	4	no	—
186	SD₃₂	—	4	4	no	—
187	D₁₆	—	4	2	no	—
188	D₁₆	—	4	2	no	—
189	M₃₂	—	2	1	no	—
190	M₃₂	—	2	1	no	—
191	M₃₂	—	2	4	no	—
192	M₃₂	—	2	4	no	—
193	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
198	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
199	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
206	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
207	#108	—	2	2	no	—
208	#108	—	2	2	no	—
209	#108	—	2	2	no	—
210	#108	—	2	2	no	—
211	#108	—	4	4	no	—
212	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
213	#103	—	4	4	no	—
214	#102	—	4	4	no	—
215	#101	—	4	4	no	—
216	#101	—	4	4	no	—
217	#100	—	4	4	no	—
218	#100	—	4	4	no	—
219	#97	—	2	1	no	—
220	#97	—	2	1	no	—
221	#97	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	—	2	1	no	—
223	C₄×C₈	—	2	1	no	—
224	C₄×C₈	—	2	1	no	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
228	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂⁴	—	4	2	no	—
230	#41	—	2	1	no	—
231	#41	—	2	1	no	—
232	#41	#127	1	2	yes	—
233	#41	C₂×D₈	1	2	yes	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
240	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂×D₄	—	2	1	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	4	2	no	—
255	Q₁₆	—	4	2	no	—
256	Q₁₆	—	4	2	no	—
257	Q₁₆	—	4	2	no	—
258	Q₁₆	—	8	4	no	—
259	SD₁₆	—	8	4	no	—
260	SD₁₆	—	8	4	no	—
261	SD₁₆	—	8	4	no	—
262	SD₁₆	—	8	4	no	—
263	D₈	—	4	2	no	—
264	D₈	—	4	2	no	—
265	D₈	—	4	2	no	—
266	D₈	—	4	2	no	—
267	D₈	—	8	4	no	—
268	M₁₆	—	2	1	no	—
269	M₁₆	—	2	1	no	—
270	M₁₆	—	2	2	no	—
271	M₁₆	—	2	2	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	#127	1	2	yes	—
278	M₁₆	C₂×D₈	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	1	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
302	C₄²	—	2	1	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
307	C₁₆	—	2	2	no	—
308	C₁₆	—	2	2	no	—
309	C₁₆	#121	1	2	yes	—
310	C₁₆	#121	1	2	yes	—
311	C₁₆	#121	1	2	yes	—
312	C₁₆	#121	1	2	yes	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	16	4	no	—
318	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	2	1	no	—
320	Q₈	—	8	2	no	—
321	Q₈	—	8	2	no	—
322	Q₈	—	8	2	no	—
323	Q₈	—	8	2	no	—
324	Q₈	#493	1	2	yes	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	2	2	no	—
327	D₄	—	2	1	no	—
328	D₄	—	8	2	no	—
329	D₄	—	8	2	no	—
330	D₄	—	8	2	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	#493	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	—	8	2	no	—
354	C₈	#466	1	2	yes	—
355	C₈	#466	1	2	yes	—
356	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
357	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
358	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
359	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	16	4	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	—	32	2	no	—
366	C₂²	—	32	2	no	—
367	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	16	2	no	—
375	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	4	2	no	—
382	C₂	—	32	2	no	—
383	C₂	#33171	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#33617	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#466
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2221	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2249	C₂	semidirect
2. C₂×#2223	C₂	semidirect
3. C₂×#2222	C₂	semidirect
5. C₄×#504	C₂	semidirect
6. #33192	C₂	semidirect
7. #13246	C₂	semidirect
8. #13245	C₂	semidirect
9. #13244	C₂	semidirect
10. #13214	C₂	semidirect
11. #12909	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2249	2
C₂×#2223	2
C₂×#2222	2
C₂×#2221	2
C₄×#504	2
#33192	2
#13246	2
#13245	2
#13244	2
#13214	2
#12909	2