Subgroups — #512423

Order 512.

644 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 250 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2252	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#33209	C₂	1	2	yes	maximal
4	#13282	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13165	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#12905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#12834	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2857	—	2	2	no	—
12	#2252	—	2	4	no	—
13	C₂×#366	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#366	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1990	—	2	2	no	—
20	#1942	—	2	2	no	—
21	#1942	C₂²	1	4	yes	—
22	#1845	C₂²	1	2	yes	—
23	#1808	—	2	2	no	—
24	#1808	C₂²	1	4	yes	—
25	#1380	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
30	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
34	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	#500	—	2	4	no	—
37	#500	—	2	4	no	—
38	C₂×#107	—	2	2	no	—
39	C₂×#107	—	2	2	no	—
40	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#391	—	4	2	no	—
49	#389	—	2	4	no	—
50	#389	—	4	2	no	—
51	#384	—	2	2	no	—
52	#380	—	2	4	no	—
53	#380	—	4	2	no	—
54	#366	—	2	8	no	—
55	#366	—	2	8	no	—
56	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
57	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
58	C₄×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
59	#340	—	2	4	no	—
60	#340	—	2	4	no	—
61	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
62	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₈	Q₁₆	1	4	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
75	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
77	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×C₁₆	—	2	16	no	—
95	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
99	#107	—	2	4	no	—
100	#107	—	2	8	no	—
101	#107	—	2	4	no	—
102	#107	—	4	4	no	—
103	#107	—	4	4	no	—
104	C₄×C₈	—	2	2	no	—
105	C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₄×C₈	—	2	2	no	—
108	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
110	#95	—	4	4	no	—
111	#95	—	4	4	no	—
112	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
114	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
115	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₄	D₁₆	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	Q₃₂	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
144	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
146	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
147	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
148	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
158	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
159	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
161	C₄²	—	2	1	no	—
162	C₄²	—	2	1	no	—
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₄²	—	2	2	no	—
165	C₄²	#121	1	2	yes	—
166	C₄²	#135	1	2	yes	—
167	C₁₆	—	2	4	no	—
168	C₁₆	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	complemented
169	C₂³	—	2	1	no	—
170	C₂³	—	2	1	no	—
171	C₂³	—	2	1	no	—
172	C₂³	—	2	1	no	—
173	C₂³	#500	1	2	yes	—
174	C₂³	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
175	C₂³	C₂×Q₃₂	1	2	yes	—
176	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
177	Q₈	—	16	8	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	8	4	no	—
191	C₂×C₄	—	8	4	no	—
192	C₂×C₄	—	8	4	no	—
193	C₂×C₄	—	8	4	no	—
194	C₂×C₄	—	8	4	no	—
195	C₂×C₄	—	8	4	no	—
196	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	#500	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
211	C₈	—	2	2	no	—
212	C₈	—	2	2	no	—
213	C₈	#467	1	4	yes	—
214	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₈	#533	1	2	yes	—
216	C₂²	—	2	2	no	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	2	2	no	—
221	C₂²	—	2	2	no	—
222	C₂²	#2252	1	4	yes	complemented
223	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	C₂×#500	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	C₂²×Q₃₂	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
230	C₄	—	2	2	no	—
231	C₄	—	2	2	no	—
232	C₄	—	2	2	no	—
233	C₄	—	16	4	no	—
234	C₄	—	16	4	no	—
235	C₄	#2215	1	4	yes	—
236	C₄	#2216	1	4	yes	—
237	C₄	#2857	1	1	yes	characteristic
238	C₄	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
239	C₄	#3160	1	1	yes	characteristic
240	C₄	#3170	1	1	yes	characteristic
241	C₂	—	2	4	no	—
242	C₂	#33209	1	1	yes	characteristic
243	C₂	C₂×#2215	1	1	yes	characteristic
244	C₂	C₂×#2216	1	1	yes	characteristic
245	C₂	C₂×#2252	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#33726	1	1	yes	characteristic
247	C₂	#33733	1	1	yes	characteristic
248	C₂	#33734	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×D₈
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2252	C₂	semidirect
4. #13282	C₂	semidirect
5. #13165	C₂	semidirect
6. #12905	C₂	semidirect
33. C₂²×C₁₆	Q₈	semidirect
168. C₁₆	C₂²⋊Q₈	semidirect
222. C₂²	#2252	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2252	2
C₂²×C₄×C₁₆	2
#33209	2
#13282	2
#13165	2
#12905	2
#12834	2