Finite Group Databasebeta

Subgroups — #512618

Order 512.

1097 conjugacy classes of subgroups; only the 192 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1097 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 192 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33373	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13592	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#13589	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	C₂×#577	—	2	2	no	—
6	#3499	C₄	1	1	yes	characteristic
7	#3498	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#3154	—	2	6	no	—
9	#3152	C₂²	1	3	yes	—
10	#3151	C₄	1	3	yes	—
11	#3147	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂×#492	C₄	1	3	yes	—
13	#2888	—	2	2	no	—
14	C₄×#131	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#2134	—	2	6	no	—
16	#2132	C₂²	1	12	yes	—
17	#1411	C₂²	1	12	yes	complemented
18	#1410	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
20	C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	1	2	yes	—
21	#577	—	4	16	no	—
22	C₂×#137	—	2	6	no	—
23	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	6	no	—
24	C₂×#135	—	2	6	no	—
25	C₂²×SD₁₆	—	2	6	no	—
26	#568	—	4	2	no	—
27	C₂×#131	—	2	1	no	—
28	#550	—	4	1	no	—
29	D₄×Q₈	—	4	1	no	—
30	#547	—	4	3	no	—
31	D₄²	—	4	3	no	—
32	#536	—	2	3	no	—
33	#535	D₄	1	6	yes	—
34	#532	C₂×C₄	1	3	yes	—
35	#532	C₂³	1	3	yes	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
37	C₂×#127	C₂×C₄	1	3	yes	—
38	C₄×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	#497	—	2	6	no	—
40	#496	—	2	6	no	—
41	#495	—	2	6	no	—
42	#494	C₂³	1	3	yes	—
43	#493	C₂×C₄	1	3	yes	—
44	#492	—	2	6	no	—
45	#492	C₂×C₄	1	3	yes	—
46	#492	C₂×C₄	1	6	yes	—
47	#492	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#413	—	2	12	no	—
49	C₂×#100	—	4	6	no	—
50	#405	—	2	3	no	—
51	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	3	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
53	#356	C₂³	1	8	yes	—
54	#355	—	2	12	no	—
55	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
56	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
57	C₂×#41	—	2	2	no	—
58	C₂×#41	—	2	3	no	—
59	C₂×#41	—	4	3	no	—
60	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
62	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
63	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
64	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
65	C₂²×D₄	—	4	3	no	—
66	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
67	#137	—	4	24	no	—
68	AGL(1,ℤ/8)	—	4	24	no	—
69	#135	—	4	24	no	—
70	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
71	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×SD₁₆	—	2	6	no	—
73	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
74	C₂×SD₁₆	—	4	24	no	—
75	C₂×D₈	—	2	6	no	—
76	#131	—	2	8	no	—
77	#131	—	8	8	no	—
78	C₂×M₁₆	—	2	3	no	—
79	C₂×M₁₆	—	4	12	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
81	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
82	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
83	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
84	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	#127	—	4	3	no	—
86	#127	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
87	#127	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#127	C₂²×C₄	1	3	yes	—
89	#124	—	2	3	no	—
90	#124	C₂×D₄	1	6	yes	—
91	#123	—	4	6	no	—
92	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
93	#121	—	4	6	no	—
94	#121	—	4	3	no	—
95	#121	—	4	3	no	—
96	#120	—	4	6	no	—
97	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₄×D₄	—	2	3	no	—
99	C₄×D₄	—	4	3	no	—
100	C₄×D₄	—	4	3	no	—
101	#117	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
103	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
104	#101	—	2	8	no	—
105	#100	—	4	12	no	—
106	#97	—	2	3	no	—
107	C₄×C₈	—	2	3	no	—
108	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
110	C₂⁴	—	2	6	no	—
111	#41	—	2	4	no	—
112	#41	—	4	12	no	—
113	#41	—	4	12	no	—
114	#41	—	4	8	no	—
115	#41	—	8	12	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
117	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
118	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
119	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
120	C₂×Q₈	#99	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂×D₄	—	2	6	no	—
125	C₂×D₄	—	4	12	no	—
126	C₂×D₄	—	4	3	no	—
127	C₂×D₄	—	4	1	no	—
128	C₂×D₄	—	4	6	no	—
129	C₂×D₄	—	4	3	no	—
130	C₂×D₄	—	8	12	no	—
131	C₂×D₄	—	16	6	no	—
132	C₂×D₄	#99	1	3	yes	—
133	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
134	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
138	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
139	Q₁₆	—	4	12	no	—
140	SD₁₆	—	4	12	no	—
141	SD₁₆	—	4	24	no	—
142	SD₁₆	—	4	4	no	—
143	D₈	—	4	12	no	—
144	M₁₆	—	2	12	no	—
145	M₁₆	—	4	8	no	—
146	M₁₆	—	8	12	no	—
147	C₂×C₈	—	2	12	no	—
148	C₂×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂×C₈	—	2	3	no	—
150	C₂×C₈	—	8	12	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
152	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
153	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
154	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
158	C₄²	—	2	3	no	—
159	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
160	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂³	—	2	6	no	—
162	C₂³	—	4	1	no	—
163	C₂³	—	8	6	no	—
164	C₂³	—	16	6	no	—
165	C₂³	C₂×#99	1	3	yes	—
166	Q₈	—	4	2	no	—
167	Q₈	—	4	6	no	—
168	Q₈	—	8	6	no	—
169	Q₈	#353	1	4	yes	—
170	D₄	—	2	6	no	—
171	D₄	—	4	6	no	—
172	D₄	—	4	2	no	—
173	D₄	—	4	12	no	—
174	D₄	—	8	2	no	—
175	D₄	—	8	6	no	—
176	D₄	—	8	6	no	—
177	D₄	—	8	6	no	—
178	D₄	—	16	6	no	—
179	C₂×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄	—	2	6	no	—
181	C₂×C₄	—	2	3	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	6	no	—
184	C₂×C₄	—	4	12	no	—
185	C₂×C₄	—	4	3	no	—
186	C₂×C₄	—	8	6	no	—
187	C₂×C₄	—	8	6	no	—
188	C₂×C₄	C₂×#99	1	3	yes	—
189	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₈	—	2	2	no	—
191	C₈	—	2	6	no	—
192	C₈	—	8	8	no	—
193	C₂²	—	2	3	no	—
194	C₂²	—	4	3	no	—
195	C₂²	—	4	6	no	—
196	C₂²	—	8	6	no	—
197	C₂²	—	8	2	no	—
198	C₂²	—	8	1	no	—
199	C₂²	—	32	6	no	—
200	C₂²	C₂²×#99	1	1	yes	characteristic
201	C₄	—	2	2	no	—
202	C₄	—	2	1	no	—
203	C₄	—	4	3	no	—
204	C₄	—	4	2	no	—
205	C₄	—	8	3	no	—
206	C₄	C₂×#353	1	6	yes	—
207	C₂	—	2	1	no	—
208	C₂	—	4	3	no	—
209	C₂	—	8	6	no	—
210	C₂	—	16	1	no	—
211	C₂	C₂²×#353	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂²×#353
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₄⋊Q₈	C₂⁴
prime radical	#60646	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂×Q₈ ◁ C₂×#41 ◁ #3498 ◁ G
LECS	G ▷ C₄⋊Q₈ ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33373	C₂	semidirect
3. #13592	C₂	semidirect
4. #13589	C₂	semidirect
17. #1411	C₂²	semidirect
18. #1410	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60646	2
#33373	2
#13592	2
#13589	2