Subgroups — C₄²×#124 #513374

Order 512.

4710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#124	C₂	1	3	yes	maximal
2	C₂×C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#382	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₄×#391	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₄×#390	C₂	1	3	yes	maximal
7	C₄×#388	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
8	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×#124	C₄	1	48	yes	direct product factor
15	C₂×#391	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#390	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#388	C₂²	1	12	yes	—
18	C₂×#382	C₂²	1	3	yes	—
19	C₄²×Q₈	—	2	8	no	—
20	C₄²×D₄	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
27	C₂×C₄³	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×C₄³	C₂²	1	3	yes	—
29	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄³	C₂²	1	3	yes	—
32	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1437	C₂²	1	12	yes	—
34	#1436	C₂²	1	12	yes	—
35	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
36	#1434	C₂²	1	12	yes	—
37	C₄×#95	C₂²	1	12	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	12	yes	—
39	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
42	C₂×#124	C₂×C₄	1	24	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
46	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
56	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#391	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
70	#390	C₂×C₄	1	24	yes	—
71	#388	C₂×C₄	1	96	yes	complemented
72	#382	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	96	yes	complemented
79	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
80	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
84	C₄³	—	2	8	no	—
85	C₄³	—	2	24	no	—
86	C₄³	—	2	12	no	—
87	C₄³	—	2	8	no	—
88	C₄³	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
89	C₄³	D₄	1	8	yes	—
90	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
96	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
110	#124	C₄²	1	64	yes	direct product factor
111	C₄×Q₈	—	2	96	no	—
112	C₄×D₄	—	2	96	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	48	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	48	yes	—
128	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	32	no	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	24	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	12	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
156	#95	—	2	12	no	—
157	#95	—	2	12	no	—
158	#95	—	2	48	no	—
159	#95	C₂²×C₄	1	48	yes	—
160	#95	C₂²×C₄	1	48	yes	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	2	12	no	—
163	C₂⁴	—	2	6	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	C₂³×C₄	1	12	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
169	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	16	yes	complemented
170	C₂×D₄	—	2	24	no	—
171	C₂×D₄	—	2	24	no	—
172	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×#41	1	24	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
210	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
215	C₂²⋊C₄	C₂×C₄²	1	64	yes	complemented
216	C₄²	—	2	48	no	—
217	C₄²	—	2	48	no	—
218	C₄²	—	2	48	no	—
219	C₄²	—	2	24	no	—
220	C₄²	—	2	48	no	—
221	C₄²	—	2	48	no	—
222	C₄²	—	2	24	no	—
223	C₄²	—	4	24	no	—
224	C₄²	—	4	24	no	—
225	C₄²	C₂×C₄²	1	16	yes	complemented
226	C₄²	C₄×D₄	1	48	yes	—
227	C₄²	#124	1	16	yes	direct product factor
228	C₂³	—	2	12	no	—
229	C₂³	—	2	24	no	—
230	C₂³	—	2	24	no	—
231	C₂³	—	2	12	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	4	12	no	—
234	C₂³	—	4	6	no	—
235	C₂³	—	4	12	no	—
236	C₂³	C₂²×C₄²	1	8	yes	—
237	C₂³	C₂⁴×C₄	1	3	yes	—
238	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
240	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
241	C₂³	C₂²×#41	1	6	yes	—
242	Q₈	—	2	32	no	—
243	D₄	—	2	32	no	—
244	C₂×C₄	—	2	12	no	—
245	C₂×C₄	—	2	12	no	—
246	C₂×C₄	—	2	12	no	—
247	C₂×C₄	—	2	12	no	—
248	C₂×C₄	—	2	12	no	—
249	C₂×C₄	—	2	12	no	—
250	C₂×C₄	—	2	12	no	—
251	C₂×C₄	—	2	24	no	—
252	C₂×C₄	—	2	12	no	—
253	C₂×C₄	—	2	24	no	—
254	C₂×C₄	—	2	12	no	—
255	C₂×C₄	—	2	12	no	—
256	C₂×C₄	—	2	12	no	—
257	C₂×C₄	—	2	24	no	—
258	C₂×C₄	—	2	24	no	—
259	C₂×C₄	—	4	6	no	—
260	C₂×C₄	—	4	12	no	—
261	C₂×C₄	—	4	12	no	—
262	C₂×C₄	—	4	6	no	—
263	C₂×C₄	—	4	12	no	—
264	C₂×C₄	—	4	96	no	—
265	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	8	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	8	yes	—
267	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
271	C₂×C₄	C₄×#41	1	24	yes	—
272	C₂×C₄	C₄×#41	1	12	yes	—
273	C₂×C₄	C₄×#41	1	24	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#124	1	12	yes	—
275	C₂×C₄	#529	1	24	yes	—
276	C₂×C₄	#532	1	12	yes	—
277	C₂²	—	2	8	no	—
278	C₂²	—	2	16	no	—
279	C₂²	—	4	12	no	—
280	C₂²	—	4	24	no	—
281	C₂²	—	4	12	no	—
282	C₂²	C₂³×C₄²	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	3	yes	—
284	C₂²	C₂×C₄×#41	1	3	yes	—
285	C₂²	C₂×C₄×#41	1	6	yes	—
286	C₂²	C₂×C₄×#41	1	6	yes	—
287	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#529	1	6	yes	—
289	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
290	C₂²	#3444	1	6	yes	—
291	C₄	—	2	8	no	—
292	C₄	—	2	8	no	—
293	C₄	—	2	24	no	—
294	C₄	—	2	12	no	—
295	C₄	—	4	12	no	—
296	C₄	—	4	12	no	—
297	C₄	C₄²×D₄	1	8	yes	—
298	C₄	C₄×#124	1	24	yes	direct product factor
299	C₂	—	4	8	no	—
300	C₂	C₂×C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₄²×#41	1	2	yes	—
302	C₂	C₂×C₄×#124	1	3	yes	—
303	C₂	C₄×#529	1	6	yes	—
304	C₂	C₄×#532	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄²	C₂³
commutator	C₂²	C₂³×C₄²
Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄²×Q₈	C₂	semidirect
4. C₄×#382	C₂	semidirect
5. C₄×#391	C₂	semidirect
7. C₄×#388	C₂	semidirect
8. C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₄⁴	C₂	semidirect
14. C₄×#124	C₄	direct (N × H)
45. C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
69. #391	C₂×C₄	semidirect
71. #388	C₂×C₄	semidirect
72. #382	C₂×C₄	semidirect
78. C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
88. C₄³	C₂×C₄	semidirect
110. #124	C₄²	direct (N × H)
169. C₂×Q₈	C₂×C₄²	semidirect
215. C₂²⋊C₄	C₂×C₄²	semidirect
225. C₄²	C₂×C₄²	semidirect
227. C₄²	#124	direct (N × H)
298. C₄	C₄×#124	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#124	2
C₂×C₄²×Q₈	2
C₂×C₄²×D₄	2
C₄×#382	2
C₄×#391	2
C₄×#390	2
C₄×#388	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2
C₄⁴	2

Subgroups — C42×#124 #513374

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₄²×#124 #513374