Subgroups — #513720

Order 512.

3782 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2276	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13821	C₂	1	6	yes	maximal
5	Q₈×#95	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₄⋊C₄²	C₂	1	6	yes	maximal
7	#13783	C₂	1	6	yes	maximal
8	C₄×#384	C₂	1	3	yes	maximal
9	#13755	C₂	1	3	yes	maximal
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	32	yes	complemented
15	C₂×#389	C₂²	1	12	yes	—
16	C₂×#384	C₂²	1	6	yes	—
17	#2276	—	2	16	no	—
18	C₄²×Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
27	C₂×#376	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×C₄³	C₂²	1	3	yes	—
29	#1436	C₂²	1	24	yes	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄⋊#95	C₂²	1	3	yes	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
33	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
35	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
36	#1434	C₂²	1	6	yes	—
37	#1434	C₂²	1	6	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	—
39	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	8	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
66	#389	C₂×C₄	1	96	yes	—
67	#384	C₂×C₄	1	48	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	48	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
76	#376	—	2	24	no	—
77	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
84	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
86	C₄³	C₂×C₄	1	24	yes	—
87	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
91	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
102	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
103	C₄×Q₈	C₄²	1	64	yes	complemented
104	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	48	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	48	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
124	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	48	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	12	yes	—
147	#95	—	2	4	no	—
148	#95	—	2	24	no	—
149	#95	—	2	12	no	—
150	#95	—	2	12	no	—
151	#95	—	2	4	no	—
152	#95	—	4	12	no	—
153	#95	—	4	12	no	—
154	#95	C₂²×C₄	1	24	yes	—
155	#95	C₂²×C₄	1	48	yes	—
156	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
158	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
159	C₂×Q₈	#117	1	16	yes	—
160	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	32	yes	—
161	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	32	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
189	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	24	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
208	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
213	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	96	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
218	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	48	yes	—
219	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
220	C₄²	—	2	24	no	—
221	C₄²	—	2	96	no	—
222	C₄²	—	2	8	no	—
223	C₄²	—	2	24	no	—
224	C₄²	—	2	24	no	—
225	C₄²	—	4	12	no	—
226	C₄²	—	8	24	no	—
227	C₄²	C₂×C₄²	1	48	yes	—
228	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
229	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	C₂⁴×C₄	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
235	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
236	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
237	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	#585	1	2	yes	—
240	Q₈	C₄×C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	6	no	—
245	C₂×C₄	—	2	6	no	—
246	C₂×C₄	—	2	6	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	6	no	—
249	C₂×C₄	—	2	12	no	—
250	C₂×C₄	—	2	12	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	6	no	—
253	C₂×C₄	—	2	6	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	6	no	—
256	C₂×C₄	—	2	6	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	6	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	24	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂×C₄	—	2	24	no	—
265	C₂×C₄	—	2	6	no	—
266	C₂×C₄	—	2	24	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	12	no	—
270	C₂×C₄	—	4	12	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	12	no	—
273	C₂×C₄	—	4	6	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	6	no	—
276	C₂×C₄	—	4	12	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	12	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	12	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#117	1	12	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	24	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	24	yes	—
287	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#519	1	8	yes	—
289	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#520	1	8	yes	—
292	C₂²	C₂³×C₄²	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
298	C₂²	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#520	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₂²	C₄×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
305	C₂²	#3497	1	2	yes	—
306	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#3499	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#3502	1	2	yes	—
309	C₂²	#3503	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#3503	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#3517	1	2	yes	—
312	C₂²	#3518	1	2	yes	—
313	C₂²	#3522	1	2	yes	—
314	C₂²	#3523	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	2	12	no	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	2	12	no	—
319	C₄	—	4	8	no	—
320	C₄	—	4	24	no	—
321	C₄	—	4	6	no	—
322	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
323	C₄	#2276	1	8	yes	complemented
324	C₂	C₂²×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#2276	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₄×#520	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#34182	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#34183	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#34193	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#34196	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#34311	1	2	yes	—
332	C₂	#34313	1	2	yes	—
333	C₂	#34335	1	2	yes	—
334	C₂	#34337	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂²	C₂³×C₄²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. Q₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
18. C₄²×Q₈	C₄	semidirect
103. C₄×Q₈	C₄²	semidirect
104. C₄×Q₈	C₄⋊C₄	semidirect
240. Q₈	C₄×C₄⋊C₄	semidirect
323. C₄	#2276	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×C₄⋊C₄	2
C₂×#2276	2
C₂×C₄²×Q₈	2
#13821	2
Q₈×#95	2
C₄⋊C₄²	2
#13783	2
C₄×#384	2
#13755	2