Subgroups — #514021

Order 512.

5798 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#117	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13852	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#13851	C₂	1	2	yes	maximal
6	#13850	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13847	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#13839	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	—	2	16	no	—
12	C₂×C₄×#41	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#117	—	2	16	no	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#376	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄³	C₂²	1	4	yes	—
30	#1446	C₂²	1	4	yes	—
31	#1445	C₂²	1	8	yes	—
32	#1441	C₂²	1	16	yes	—
33	#1440	C₂²	1	8	yes	—
34	#1439	C₂²	1	16	yes	—
35	#1438	C₂²	1	8	yes	—
36	#1438	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×#95	C₂²	1	16	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	8	yes	—
39	C₂²×#41	—	2	8	no	—
40	C₂²×#41	—	2	16	no	—
41	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₄×#41	—	2	128	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	C₂×#117	—	2	8	no	—
60	C₂×#117	—	2	16	no	—
61	C₂×#117	—	2	16	no	—
62	C₂×#117	—	2	32	no	—
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	16	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	C₂²×C₄²	D₄	1	16	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
90	#376	—	2	16	no	—
91	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
95	C₄³	—	2	16	no	—
96	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂×#41	—	2	128	no	—
99	C₂×#41	—	2	32	no	—
100	C₂×#41	—	2	64	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
134	C₄×D₄	—	2	128	no	—
135	C₄×D₄	—	2	64	no	—
136	#117	—	2	128	no	—
137	#117	—	2	32	no	—
138	#117	—	2	64	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
156	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	64	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	32	yes	complemented
177	#95	—	2	16	no	—
178	#95	—	2	16	no	—
179	#95	—	2	64	no	—
180	#95	—	2	32	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	8	no	—
183	C₂⁴	—	2	16	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
188	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
189	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
190	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
191	#41	—	2	256	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
195	C₂×D₄	—	2	32	no	—
196	C₂×D₄	—	2	64	no	—
197	C₂×D₄	—	2	16	no	—
198	C₂×D₄	—	2	16	no	—
199	C₂×D₄	—	2	16	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
227	C₂²×C₄	#117	1	32	yes	complemented
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	32	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	16	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
251	C₄²	—	2	16	no	—
252	C₄²	—	2	32	no	—
253	C₄²	—	2	64	no	—
254	C₄²	—	4	32	no	—
255	C₄²	—	4	32	no	—
256	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
257	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
258	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	16	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	16	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	32	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	8	no	—
271	C₂³	—	4	16	no	—
272	C₂³	—	4	16	no	—
273	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
275	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂²×#41	1	8	yes	—
279	Q₈	—	2	32	no	—
280	D₄	—	2	32	no	—
281	D₄	—	2	64	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	32	no	—
291	C₂×C₄	—	2	64	no	—
292	C₂×C₄	—	2	64	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	32	no	—
296	C₂×C₄	—	2	64	no	—
297	C₂×C₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	16	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	32	no	—
302	C₂×C₄	—	4	64	no	—
303	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	C₄×#41	1	16	yes	—
310	C₂×C₄	#525	1	16	yes	—
311	C₂×C₄	#525	1	16	yes	—
312	C₂×C₄	#532	1	16	yes	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	—	2	16	no	—
317	C₂²	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	4	8	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	16	no	—
321	C₂²	—	4	32	no	—
322	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂²×#117	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×C₄×#41	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
326	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
327	C₂²	C₂×#532	1	4	yes	—
328	C₂²	#3444	1	16	yes	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	2	8	no	—
331	C₄	—	2	8	no	—
332	C₄	—	4	8	no	—
333	C₄	—	4	32	no	—
334	C₄	#2280	1	8	yes	—
335	C₄	#2297	1	16	yes	—
336	C₂	—	4	4	no	—
337	C₂	—	4	8	no	—
338	C₂	C₂×#2280	1	1	yes	characteristic
339	C₂	C₂×#2297	1	2	yes	—
340	C₂	#34026	1	4	yes	—
341	C₂	#34547	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄²	C₂³
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#117	C₂	semidirect
3. #13853	C₂	semidirect
4. #13852	C₂	semidirect
6. #13850	C₂	semidirect
7. #13847	C₂	semidirect
8. #13839	C₂	semidirect
9. C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×#41	C₄	semidirect
166. C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	semidirect
176. C₂×C₄²	#41	semidirect
227. C₂²×C₄	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×C₄×#117	2
#13853	2
#13852	2
#13851	2
#13850	2
#13847	2
#13839	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2