Subgroups — #514647

Order 512.

6698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14167	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14159	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#14152	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#14134	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#386	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#525	—	2	16	no	—
13	C₂×#525	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂²×#123	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#120	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂³×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#386	C₂²	1	16	yes	—
23	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂²×#95	C₂²	1	4	yes	—
30	#1446	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#1445	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1440	C₂²	1	8	yes	—
33	#1438	C₂²	1	8	yes	—
34	#1438	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1437	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#1436	C₂²	1	16	yes	complemented
37	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#41	—	2	8	no	—
41	C₂²×#41	—	4	8	no	—
42	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
48	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#525	—	2	128	no	—
57	C₂×#123	—	2	16	no	—
58	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
62	C₂×#121	—	2	8	no	—
63	C₂×#121	—	2	8	no	—
64	C₂×#121	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
65	C₂×#120	—	2	16	no	—
66	C₂×#120	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
70	C₂×#117	—	2	8	no	—
71	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
83	C₂²×C₄²	—	4	16	no	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
87	#386	—	2	64	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
93	C₂×#95	—	2	16	no	—
94	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
98	C₂⁵	—	2	16	no	—
99	C₂⁵	—	4	4	no	—
100	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
102	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
103	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂×#41	—	2	32	no	—
106	C₂×#41	—	4	32	no	—
107	C₂×#41	—	4	64	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
133	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#123	—	2	64	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
153	#121	—	2	64	no	—
154	#120	—	2	64	no	—
155	C₄×D₄	—	2	128	no	—
156	#117	—	2	32	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	32	yes	complemented
179	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	64	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
186	#95	—	2	16	no	—
187	#95	—	2	16	no	—
188	#95	—	2	64	no	—
189	#95	—	4	16	no	—
190	C₂⁴	—	2	8	no	—
191	C₂⁴	—	2	8	no	—
192	C₂⁴	—	2	32	no	—
193	C₂⁴	—	2	32	no	—
194	C₂⁴	—	2	32	no	—
195	C₂⁴	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	2	16	no	—
199	C₂⁴	—	2	8	no	—
200	C₂⁴	—	4	8	no	—
201	C₂⁴	—	4	16	no	—
202	C₂⁴	—	4	64	no	—
203	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
204	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
205	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
206	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
207	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
208	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
210	C₂⁴	C₂×#41	1	16	yes	—
211	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
212	#41	—	4	128	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
216	C₂×D₄	—	2	32	no	—
217	C₂×D₄	—	2	16	no	—
218	C₂×D₄	—	2	64	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	16	no	—
222	C₂×D₄	—	4	16	no	—
223	C₂×D₄	—	4	32	no	—
224	C₂×D₄	—	4	32	no	—
225	C₂×D₄	—	4	32	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	32	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
278	C₄²	—	2	16	no	—
279	C₄²	—	4	32	no	—
280	C₄²	—	4	32	no	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	64	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	64	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	16	no	—
296	C₂³	—	2	8	no	—
297	C₂³	—	4	16	no	—
298	C₂³	—	4	64	no	—
299	C₂³	—	4	128	no	—
300	C₂³	—	4	16	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	—	4	16	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
308	C₂³	C₄×#41	1	16	yes	—
309	C₂³	#525	1	16	yes	—
310	C₂³	#532	1	16	yes	—
311	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂²×#41	1	8	yes	—
314	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
315	Q₈	—	4	16	no	—
316	D₄	—	4	16	no	—
317	D₄	—	4	32	no	—
318	D₄	—	4	64	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	64	no	—
325	C₂×C₄	—	2	32	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	32	no	—
331	C₂×C₄	—	2	64	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	32	no	—
334	C₂×C₄	—	4	128	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	16	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	32	no	—
341	C₂×C₄	—	4	32	no	—
342	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	#534	1	16	yes	—
347	C₂²	—	2	32	no	—
348	C₂²	—	2	32	no	—
349	C₂²	—	2	32	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	2	8	no	—
352	C₂²	—	2	8	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	4	64	no	—
355	C₂²	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	4	16	no	—
357	C₂²	—	4	16	no	—
358	C₂²	—	4	8	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	8	16	no	—
361	C₂²	#2297	1	16	yes	—
362	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×C₄×#41	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
365	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
366	C₂²	C₂×#532	1	4	yes	—
367	C₂²	C₂×#534	1	4	yes	—
368	C₂²	#3481	1	16	yes	—
369	C₄	—	2	8	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	4	32	no	—
372	C₄	—	4	8	no	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	#2308	1	8	yes	—
375	C₂	—	2	16	no	—
376	C₂	—	4	4	no	—
377	C₂	—	8	4	no	—
378	C₂	C₂×#2297	1	2	yes	—
379	C₂	C₂×#2308	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#34152	1	4	yes	—
381	C₂	#34957	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
3. #14167	C₂	semidirect
4. #14159	C₂	semidirect
5. #14152	C₂	semidirect
6. #14134	C₂	semidirect
7. #13853	C₂	semidirect
8. #13851	C₂	semidirect
9. C₄×#386	C₂	semidirect
13. C₂×#525	C₄	semidirect
28. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
30. #1446	C₂²	semidirect
31. #1445	C₂²	semidirect
34. #1438	C₂²	semidirect
35. #1437	C₂²	semidirect
36. #1436	C₂²	semidirect
38. C₄×#95	C₂²	semidirect
42. C₂²×#41	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×#123	C₂×C₄	semidirect
61. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
64. C₂×#121	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×#117	C₂×C₄	semidirect
133. C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
178. C₂×C₂²⋊C₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#525	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2
#14167	2
#14159	2
#14152	2
#14134	2
#13853	2
#13851	2
C₄×#386	2