Subgroups — #515121

Order 512.

5552 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2388	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2290	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#14302	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14301	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#14300	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#14299	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#13851	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13844	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#13839	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#13753	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×#41	—	2	24	no	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
20	#2388	C₄	1	16	yes	complemented
21	C₂×#395	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#394	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#392	C₂²	1	3	yes	—
25	#2290	—	2	24	no	—
26	C₂×#388	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#387	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×#386	C₂²	1	6	yes	—
29	C₂×#385	C₂²	1	6	yes	—
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
33	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
34	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
35	C₂×#376	C₂²	1	3	yes	—
36	#1446	C₂²	1	2	yes	—
37	#1444	C₂²	1	6	yes	—
38	#1442	C₂²	1	6	yes	—
39	#1441	C₂²	1	6	yes	—
40	#1440	C₂²	1	6	yes	—
41	#1439	C₂²	1	6	yes	—
42	#1439	C₂²	1	12	yes	—
43	#1438	C₂²	1	6	yes	—
44	#1438	C₂²	1	6	yes	—
45	#1434	C₂²	1	6	yes	—
46	#1434	C₂²	1	6	yes	—
47	C₂²⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
48	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	—
49	C₂²×#41	—	2	12	no	—
50	C₂²×#41	—	2	12	no	—
51	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
54	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
58	C₄×#41	—	2	128	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	24	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	48	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
65	C₂×#117	—	2	12	no	—
66	C₂×#117	—	2	24	no	—
67	C₂×#117	—	2	12	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
81	C₂²×C₄²	D₄	1	24	yes	complemented
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#395	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	#394	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
90	#393	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	#392	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
92	#388	—	2	24	no	—
93	#387	—	2	24	no	—
94	#386	—	2	24	no	—
95	#385	—	2	24	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
101	#376	—	2	12	no	—
102	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
106	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
107	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
108	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
109	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
110	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
111	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
112	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂⁵	C₂⁴	1	3	yes	—
114	C₂×#41	—	2	32	no	—
115	C₂×#41	—	2	96	no	—
116	C₂×#41	—	2	96	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
128	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
135	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
136	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
137	C₂³×C₄	—	4	12	no	—
138	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
142	C₂³×C₄	#41	1	12	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
153	C₄×D₄	—	2	192	no	—
154	C₄×D₄	—	2	96	no	—
155	#117	—	2	96	no	—
156	#117	—	4	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
183	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
195	#95	—	2	12	no	—
196	#95	—	2	12	no	—
197	#95	—	2	12	no	—
198	#95	—	2	12	no	—
199	#95	—	2	12	no	—
200	#95	—	2	12	no	—
201	#95	—	4	12	no	—
202	#95	—	4	12	no	—
203	#95	C₂²×C₄	1	12	yes	—
204	#95	C₂²×C₄	1	12	yes	—
205	C₂⁴	—	2	6	no	—
206	C₂⁴	—	2	6	no	—
207	C₂⁴	—	2	12	no	—
208	C₂⁴	—	2	6	no	—
209	C₂⁴	—	2	6	no	—
210	C₂⁴	—	2	3	no	—
211	C₂⁴	—	2	3	no	—
212	C₂⁴	—	2	6	no	—
213	C₂⁴	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂⁴	C₂³×C₄	1	6	yes	—
216	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
217	C₂⁴	C₂×#41	1	6	yes	—
218	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	2	256	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
223	C₂×D₄	—	2	24	no	—
224	C₂×D₄	—	2	24	no	—
225	C₂×D₄	—	2	48	no	—
226	C₂×D₄	—	2	48	no	—
227	C₂×D₄	—	2	24	no	—
228	C₂×D₄	—	2	24	no	—
229	C₂×D₄	—	4	12	no	—
230	C₂×D₄	—	4	12	no	—
231	C₂×D₄	—	4	24	no	—
232	C₂×D₄	—	4	24	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	48	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄²	—	2	24	no	—
295	C₄²	—	2	24	no	—
296	C₄²	—	2	48	no	—
297	C₄²	—	4	4	no	—
298	C₄²	—	4	12	no	—
299	C₄²	#120	1	16	yes	—
300	C₂³	—	2	12	no	—
301	C₂³	—	2	12	no	—
302	C₂³	—	2	6	no	—
303	C₂³	—	2	6	no	—
304	C₂³	—	2	6	no	—
305	C₂³	—	2	6	no	—
306	C₂³	—	2	12	no	—
307	C₂³	—	2	12	no	—
308	C₂³	—	2	12	no	—
309	C₂³	—	2	12	no	—
310	C₂³	—	2	12	no	—
311	C₂³	—	2	6	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	6	no	—
314	C₂³	—	4	12	no	—
315	C₂³	—	4	12	no	—
316	C₂³	—	4	12	no	—
317	C₂³	—	4	12	no	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	—	4	3	no	—
320	C₂³	—	4	6	no	—
321	C₂³	—	4	6	no	—
322	C₂³	—	4	6	no	—
323	C₂³	—	4	6	no	—
324	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
325	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
327	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
328	C₂³	#585	1	2	yes	—
329	C₂³	#585	1	6	yes	—
330	Q₈	—	2	32	no	—
331	D₄	—	2	96	no	—
332	D₄	—	4	48	no	—
333	C₂×C₄	—	2	12	no	—
334	C₂×C₄	—	2	6	no	—
335	C₂×C₄	—	2	6	no	—
336	C₂×C₄	—	2	12	no	—
337	C₂×C₄	—	2	12	no	—
338	C₂×C₄	—	2	12	no	—
339	C₂×C₄	—	2	96	no	—
340	C₂×C₄	—	2	6	no	—
341	C₂×C₄	—	2	6	no	—
342	C₂×C₄	—	2	6	no	—
343	C₂×C₄	—	2	6	no	—
344	C₂×C₄	—	2	12	no	—
345	C₂×C₄	—	2	6	no	—
346	C₂×C₄	—	2	12	no	—
347	C₂×C₄	—	2	12	no	—
348	C₂×C₄	—	2	12	no	—
349	C₂×C₄	—	4	96	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	3	no	—
352	C₂×C₄	—	4	6	no	—
353	C₂×C₄	—	4	12	no	—
354	C₂×C₄	—	4	12	no	—
355	C₂×C₄	—	4	6	no	—
356	C₂×C₄	—	4	6	no	—
357	C₂×C₄	—	4	6	no	—
358	C₂×C₄	—	4	16	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	6	no	—
361	C₂×C₄	—	4	6	no	—
362	C₂×C₄	—	4	6	no	—
363	C₂×C₄	—	4	6	no	—
364	C₂×C₄	—	4	6	no	—
365	C₂×C₄	—	4	12	no	—
366	C₂×C₄	—	4	12	no	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#525	1	12	yes	—
372	C₂²	—	2	12	no	—
373	C₂²	—	2	12	no	—
374	C₂²	—	2	12	no	—
375	C₂²	—	4	12	no	—
376	C₂²	—	4	12	no	—
377	C₂²	—	4	12	no	—
378	C₂²	—	4	12	no	—
379	C₂²	—	4	24	no	—
380	C₂²	—	4	6	no	—
381	C₂²	—	4	6	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	8	6	no	—
385	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	3	yes	—
386	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#3428	1	3	yes	—
388	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
390	C₂²	#3449	1	6	yes	—
391	C₂²	#3449	1	6	yes	—
392	C₂²	#3455	1	6	yes	—
393	C₂²	#3455	1	6	yes	—
394	C₄	—	2	8	no	—
395	C₄	—	2	12	no	—
396	C₄	—	4	6	no	—
397	C₄	—	4	6	no	—
398	C₄	—	4	12	no	—
399	C₄	—	4	2	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	—	8	6	no	—
402	C₄	C₄×#120	1	8	yes	—
403	C₂	—	4	12	no	—
404	C₂	—	8	2	no	—
405	C₂	C₂×C₄×#120	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#34065	1	3	yes	—
407	C₂	#34070	1	3	yes	—
408	C₂	#34632	1	2	yes	—
409	C₂	#34636	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂×#2388	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₄×#41	C₂	semidirect
3. C₂×#2290	C₂	semidirect
4. #14302	C₂	semidirect
5. #14301	C₂	semidirect
6. #14300	C₂	semidirect
7. #14299	C₂	semidirect
8. #13851	C₂	semidirect
9. #13844	C₂	semidirect
10. #13839	C₂	semidirect
11. #13753	C₂	semidirect
20. #2388	C₄	semidirect
64. C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
81. C₂²×C₄²	D₄	semidirect
88. #395	C₂×C₄	semidirect
89. #394	C₂×C₄	semidirect
90. #393	C₂×C₄	semidirect
91. #392	C₂×C₄	semidirect
100. C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×#2388	2
C₂×#2290	2
#14302	2
#14301	2
#14300	2
#14299	2
#13851	2
#13844	2
#13839	2
#13753	2