Subgroups — #515258

Order 512.

6930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 321 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14345	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#14342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14338	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#14335	C₂	1	2	yes	maximal
7	#13847	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	C₄×#379	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×D₄	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2283	—	2	16	no	—
19	C₂×#383	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#379	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	16	yes	complemented
27	C₂×#376	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1445	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1439	C₂²	1	32	yes	complemented
30	#1438	C₂²	1	16	yes	—
31	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	complemented
33	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
35	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
39	C₂⁴×C₄	—	4	16	no	—
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	—	2	128	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	16	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	#383	—	2	16	no	—
69	#382	—	2	16	no	—
70	#381	—	2	16	no	—
71	#380	—	2	16	no	—
72	#379	—	2	32	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
76	#376	—	2	16	no	—
77	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
82	C₂⁵	—	2	8	no	—
83	C₂⁵	—	2	8	no	—
84	C₂⁵	—	4	8	no	—
85	C₂⁵	—	4	8	no	—
86	C₂⁵	C₂²×C₄	1	8	yes	—
87	C₂⁵	#41	1	16	yes	—
88	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
89	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
96	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	128	no	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₄×D₄	—	2	128	no	—
125	C₄×D₄	—	2	128	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
141	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
143	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	#95	—	2	16	no	—
151	#95	—	2	16	no	—
152	#95	—	2	16	no	—
153	#95	—	2	16	no	—
154	#95	—	4	32	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	16	no	—
158	C₂⁴	—	2	16	no	—
159	C₂⁴	—	2	64	no	—
160	C₂⁴	—	2	8	no	—
161	C₂⁴	—	2	8	no	—
162	C₂⁴	—	2	16	no	—
163	C₂⁴	—	2	16	no	—
164	C₂⁴	—	4	16	no	—
165	C₂⁴	—	4	16	no	—
166	C₂⁴	—	4	64	no	—
167	C₂⁴	—	4	32	no	—
168	C₂⁴	—	4	32	no	—
169	C₂⁴	—	4	64	no	—
170	C₂⁴	#117	1	32	yes	—
171	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
172	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
174	C₂⁴	C₂×#41	1	16	yes	—
175	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
177	C₂×D₄	—	2	64	no	—
178	C₂×D₄	—	2	64	no	—
179	C₂×D₄	—	2	256	no	—
180	C₂×D₄	—	2	64	no	—
181	C₂×D₄	—	2	32	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	256	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	128	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
227	C₄²	—	4	32	no	—
228	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
229	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	8	no	—
233	C₂³	—	2	8	no	—
234	C₂³	—	2	32	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	2	8	no	—
237	C₂³	—	2	16	no	—
238	C₂³	—	2	16	no	—
239	C₂³	—	2	32	no	—
240	C₂³	—	2	64	no	—
241	C₂³	—	2	64	no	—
242	C₂³	—	4	64	no	—
243	C₂³	—	4	32	no	—
244	C₂³	—	4	64	no	—
245	C₂³	—	4	256	no	—
246	C₂³	—	4	32	no	—
247	C₂³	—	4	16	no	—
248	C₂³	—	4	16	no	—
249	C₂³	—	4	32	no	—
250	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂³	C₂×#117	1	16	yes	—
252	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
253	C₂³	#525	1	16	yes	—
254	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
258	C₂³	#585	1	4	yes	—
259	D₄	—	2	128	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	32	no	—
269	C₂×C₄	—	2	32	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	16	no	—
272	C₂×C₄	—	4	16	no	—
273	C₂×C₄	—	4	64	no	—
274	C₂×C₄	—	4	32	no	—
275	C₂×C₄	—	4	16	no	—
276	C₂×C₄	—	4	64	no	—
277	C₂×C₄	—	4	16	no	—
278	C₂×C₄	—	4	16	no	—
279	C₂×C₄	—	4	16	no	—
280	C₂×C₄	—	4	64	no	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
286	C₂×C₄	#535	1	16	yes	—
287	C₂²	—	2	16	no	—
288	C₂²	—	2	32	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	32	no	—
292	C₂²	—	2	16	no	—
293	C₂²	—	4	128	no	—
294	C₂²	—	4	16	no	—
295	C₂²	—	4	64	no	—
296	C₂²	—	4	8	no	—
297	C₂²	—	4	8	no	—
298	C₂²	#2280	1	8	yes	—
299	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂²×#117	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
302	C₂²	#3428	1	2	yes	—
303	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
304	C₂²	C₂×#535	1	4	yes	—
305	C₂²	#3449	1	4	yes	—
306	C₂²	#3459	1	16	yes	—
307	C₄	—	2	8	no	—
308	C₄	—	2	4	no	—
309	C₄	—	2	8	no	—
310	C₄	—	4	8	no	—
311	C₄	—	8	16	no	—
312	C₄	#2309	1	8	yes	—
313	C₂	—	2	8	no	—
314	C₂	—	4	16	no	—
315	C₂	C₂×#2280	1	1	yes	characteristic
316	C₂	C₂×#2309	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#34044	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#34057	1	4	yes	—
319	C₂	#34593	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2283	C₂	semidirect
3. #14345	C₂	semidirect
4. #14342	C₂	semidirect
5. #14338	C₂	semidirect
7. #13847	C₂	semidirect
8. C₄×#379	C₂	semidirect
12. C₂²×C₄×D₄	C₄	semidirect
19. C₂×#383	C₂²	semidirect
20. C₂×#382	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
27. C₂×#376	C₂²	semidirect
28. #1445	C₂²	semidirect
29. #1439	C₂²	semidirect
32. C₂²⋊#95	C₂²	semidirect
143. C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×D₄	2
C₂×#2283	2
#14345	2
#14342	2
#14338	2
#14335	2
#13847	2
C₄×#379	2