Subgroups — #515366

Order 512.

7242 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2309	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14026	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
6	#13868	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#13756	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#124	—	2	8	no	—
11	C₂²×#124	—	2	8	no	—
12	C₂²×#124	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×#124	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#519	—	2	8	no	—
15	C₂×#519	—	2	16	no	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2310	—	2	8	no	—
23	#2309	—	2	16	no	—
24	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#379	C₂²	1	8	yes	—
29	#1439	C₂²	1	32	yes	complemented
30	#1437	C₂²	1	32	yes	complemented
31	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
33	C₄×#95	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
37	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂³×Q₈	D₄	1	8	yes	—
39	C₂³×Q₈	D₄	1	8	yes	—
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#124	—	2	128	no	—
51	C₂×#124	—	2	32	no	—
52	C₂×#124	—	2	32	no	—
53	C₂×#124	C₂×C₄	1	64	yes	—
54	#519	—	2	128	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
58	C₂×#117	—	2	16	no	—
59	C₂×#117	—	2	8	no	—
60	C₂×#117	—	2	8	no	—
61	C₂×#117	—	2	8	no	—
62	C₂×#117	—	2	8	no	—
63	C₂×#117	—	2	8	no	—
64	C₂×#117	—	2	32	no	—
65	C₂×#117	D₄	1	16	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
76	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
83	#391	—	2	32	no	—
84	#390	—	2	32	no	—
85	#390	—	2	32	no	—
86	#381	—	2	16	no	—
87	#379	—	2	32	no	—
88	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
90	C₂⁵	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	—	2	4	no	—
92	C₂⁵	—	2	8	no	—
93	C₂⁵	—	2	8	no	—
94	C₂⁵	—	4	16	no	—
95	C₂⁵	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
97	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
107	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	#124	—	2	256	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	256	no	—
143	#117	—	2	128	no	—
144	#117	—	2	64	no	—
145	#117	—	4	32	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	64	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
166	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
178	#95	—	2	32	no	—
179	#95	—	4	32	no	—
180	C₂⁴	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	16	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	8	no	—
185	C₂⁴	—	2	8	no	—
186	C₂⁴	—	2	32	no	—
187	C₂⁴	—	2	32	no	—
188	C₂⁴	—	4	32	no	—
189	C₂⁴	—	4	32	no	—
190	C₂⁴	—	4	32	no	—
191	C₂⁴	—	4	8	no	—
192	C₂⁴	—	4	16	no	—
193	C₂⁴	—	4	8	no	—
194	C₂⁴	—	8	32	no	—
195	C₂⁴	—	8	32	no	—
196	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
197	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	256	no	—
210	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
211	C₂×D₄	—	2	32	no	—
212	C₂×D₄	—	2	32	no	—
213	C₂×D₄	—	2	32	no	—
214	C₂×D₄	—	4	16	no	—
215	C₂×D₄	—	4	16	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	128	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
241	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	32	yes	—
242	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
243	C₂²×C₄	#121	1	32	yes	—
244	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	64	no	—
264	C₄²	—	2	64	no	—
265	C₄²	—	2	32	no	—
266	C₄²	—	2	32	no	—
267	C₄²	—	4	16	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	2	16	no	—
272	C₂³	—	2	16	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	16	no	—
275	C₂³	—	2	32	no	—
276	C₂³	—	4	64	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	16	no	—
281	C₂³	—	4	16	no	—
282	C₂³	—	4	32	no	—
283	C₂³	—	4	32	no	—
284	C₂³	—	4	32	no	—
285	C₂³	—	8	64	no	—
286	C₂³	—	8	32	no	—
287	C₂³	—	8	64	no	—
288	C₂³	—	8	32	no	—
289	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
291	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂×#121	1	8	yes	—
293	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
299	C₂³	#585	1	8	yes	—
300	Q₈	—	2	128	no	—
301	D₄	—	4	64	no	—
302	C₂×C₄	—	2	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	64	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	32	no	—
311	C₂×C₄	—	4	32	no	—
312	C₂×C₄	—	4	16	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	16	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	16	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	#386	1	64	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#123	1	8	yes	—
329	C₂²	—	2	8	no	—
330	C₂²	—	2	16	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	2	16	no	—
334	C₂²	—	4	16	no	—
335	C₂²	—	4	32	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	8	64	no	—
338	C₂²	—	8	8	no	—
339	C₂²	—	8	16	no	—
340	C₂²	—	8	8	no	—
341	C₂²	C₂×#386	1	8	yes	—
342	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	2	yes	—
344	C₂²	#3428	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
347	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3487	1	4	yes	—
349	C₂²	#3487	1	4	yes	—
350	C₂²	#3500	1	8	yes	—
351	C₂²	#3510	1	8	yes	—
352	C₄	—	2	16	no	—
353	C₄	—	4	16	no	—
354	C₄	—	4	8	no	—
355	C₄	—	8	8	no	—
356	C₄	C₂×#386	1	16	yes	—
357	C₂	—	2	8	no	—
358	C₂	—	8	8	no	—
359	C₂	C₂²×#386	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#34174	1	2	yes	—
361	C₂	#34211	1	4	yes	—
362	C₂	#35676	1	2	yes	—
363	C₂	#35677	1	4	yes	—
364	C₂	#35679	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#519	C₂	semidirect
3. C₂×#2310	C₂	semidirect
5. #14026	C₂	semidirect
6. #13868	C₂	semidirect
7. #13756	C₂	semidirect
12. C₂²×#124	C₄	semidirect
16. C₂²×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×#391	C₂²	semidirect
29. #1439	C₂²	semidirect
30. #1437	C₂²	semidirect
31. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
33. C₄×#95	C₂²	semidirect
106. C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#124	2
C₂²×#519	2
C₂×#2310	2
C₂×#2309	2
#14026	2
#13868	2
#13756	2