Subgroups — #517421

Order 512.

7234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2316	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2280	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14680	C₂	1	4	yes	maximal
5	#14339	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13907	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
7	#13795	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁵×C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2316	—	2	16	no	—
18	C₂×#389	C₂²	1	16	yes	complemented
19	#2280	—	2	16	no	—
20	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#380	C₂²	1	16	yes	—
24	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
26	#1441	C₂²	1	32	yes	complemented
27	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
30	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
32	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
33	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
34	C₂⁴×C₄	—	4	16	no	—
35	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
37	C₂⁴×C₄	D₄	1	8	yes	—
38	C₂⁴×C₄	Q₈	1	8	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	8	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	—	2	16	no	—
46	C₂×#117	—	2	16	no	—
47	C₂×#117	—	2	16	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	64	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
65	#389	—	2	64	no	—
66	#381	—	2	16	no	—
67	#380	—	2	32	no	—
68	#380	—	2	32	no	—
69	#380	—	4	32	no	—
70	#379	—	2	16	no	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
72	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
73	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
75	C₂⁵	—	2	4	no	—
76	C₂⁵	—	2	4	no	—
77	C₂⁵	—	2	8	no	—
78	C₂⁵	—	2	8	no	—
79	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
81	C₂⁵	C₂×Q₈	1	4	yes	—
82	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	128	no	—
101	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
122	#117	—	4	64	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	256	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
147	#95	—	2	32	no	—
148	#95	—	2	32	no	—
149	#95	—	4	32	no	—
150	C₂⁴	—	2	32	no	—
151	C₂⁴	—	2	32	no	—
152	C₂⁴	—	2	64	no	—
153	C₂⁴	—	2	8	no	—
154	C₂⁴	—	2	8	no	—
155	C₂⁴	—	2	16	no	—
156	C₂⁴	—	2	16	no	—
157	C₂⁴	—	2	16	no	—
158	C₂⁴	—	2	16	no	—
159	C₂⁴	—	2	32	no	—
160	C₂⁴	—	2	32	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
168	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
176	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
177	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
178	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	256	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	256	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	64	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
213	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	32	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
227	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
230	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
231	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
234	C₄²	—	4	32	no	—
235	C₂³	—	2	32	no	—
236	C₂³	—	2	32	no	—
237	C₂³	—	2	64	no	—
238	C₂³	—	2	128	no	—
239	C₂³	—	2	128	no	—
240	C₂³	—	2	64	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	8	no	—
248	C₂³	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	8	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	16	no	—
255	C₂³	—	2	8	no	—
256	C₂³	—	2	16	no	—
257	C₂³	—	2	16	no	—
258	C₂³	—	2	16	no	—
259	C₂³	—	2	16	no	—
260	C₂³	—	2	32	no	—
261	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
263	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
265	C₂³	#518	1	8	yes	—
266	C₂³	#519	1	8	yes	—
267	C₂³	C₂×#121	1	8	yes	—
268	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
269	C₂³	#537	1	16	yes	—
270	C₂³	#544	1	16	yes	—
271	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	16	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	32	no	—
284	C₂×C₄	—	2	32	no	—
285	C₂×C₄	—	2	128	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	16	no	—
288	C₂×C₄	—	4	32	no	—
289	C₂×C₄	—	4	128	no	—
290	C₂×C₄	—	4	32	no	—
291	C₂×C₄	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	4	32	no	—
294	C₂×C₄	—	4	16	no	—
295	C₂×C₄	—	4	16	no	—
296	C₂×C₄	—	4	32	no	—
297	C₂×C₄	#380	1	64	yes	complemented
298	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#121	1	16	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
305	C₂²	—	2	128	no	—
306	C₂²	—	2	8	no	—
307	C₂²	—	2	8	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	8	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	8	no	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	2	16	no	—
316	C₂²	—	2	32	no	—
317	C₂²	—	2	16	no	—
318	C₂²	—	2	32	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	C₂×#380	1	8	yes	—
321	C₂²	#2316	1	16	yes	complemented
322	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂×#537	1	4	yes	—
330	C₂²	C₂×#544	1	4	yes	—
331	C₂²	#3484	1	4	yes	—
332	C₂²	#3486	1	4	yes	—
333	C₂²	#3492	1	8	yes	—
334	C₄	—	2	16	no	—
335	C₄	—	2	8	no	—
336	C₄	—	4	8	no	—
337	C₄	—	8	16	no	—
338	C₄	C₂×#380	1	16	yes	—
339	C₂	—	2	16	no	—
340	C₂	—	2	8	no	—
341	C₂	C₂²×#380	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂×#2316	1	2	yes	—
343	C₂	#34171	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#34178	1	2	yes	—
346	C₂	#35223	1	4	yes	—
347	C₂	#35224	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2316	C₂	semidirect
5. #14339	C₂	semidirect
6. #13907	C₂	semidirect
7. #13795	C₂	semidirect
12. C₂³×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
18. C₂×#389	C₂²	semidirect
26. #1441	C₂²	semidirect
27. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
101. C₂³×C₄	C₄⋊C₄	semidirect
133. C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
297. C₂×C₄	#380	semidirect
321. C₂²	#2316	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₄⋊C₄	2
C₂×#2316	2
C₂×#2280	2
#14680	2
#14339	2
#13907	2
#13795	2