Subgroups — #517437

Order 512.

6866 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2313	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#14680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14338	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#14335	C₂	1	2	yes	maximal
7	#13890	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
8	#13775	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#379	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×D₄	—	2	16	no	—
14	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2313	—	2	16	no	—
21	C₂×#387	C₂²	1	16	yes	complemented
22	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#1439	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1438	C₂²	1	16	yes	—
31	#1437	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#1434	C₂²	1	16	yes	complemented
33	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	complemented
37	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
45	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
46	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
47	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
48	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×D₄	—	2	128	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	64	no	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	64	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
73	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
77	#387	—	2	64	no	—
78	#381	—	2	16	no	—
79	#380	—	2	16	no	—
80	#380	—	4	16	no	—
81	#379	—	2	16	no	—
82	#379	—	2	16	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
85	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂⁵	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	—	2	4	no	—
92	C₂⁵	—	2	4	no	—
93	C₂⁵	—	2	4	no	—
94	C₂⁵	—	4	4	no	—
95	C₂⁵	—	4	4	no	—
96	C₂⁵	—	4	4	no	—
97	C₂⁵	—	4	4	no	—
98	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂⁵	#41	1	8	yes	—
101	C₂⁵	#41	1	8	yes	—
102	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
103	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₄×D₄	—	2	256	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
170	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
175	#95	—	2	16	no	—
176	#95	—	2	16	no	—
177	#95	—	2	32	no	—
178	#95	—	2	32	no	—
179	#95	—	4	16	no	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	8	no	—
183	C₂⁴	—	2	8	no	—
184	C₂⁴	—	2	8	no	—
185	C₂⁴	—	2	8	no	—
186	C₂⁴	—	2	32	no	—
187	C₂⁴	—	2	32	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	4	8	no	—
197	C₂⁴	—	4	8	no	—
198	C₂⁴	—	4	8	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	—	4	32	no	—
201	C₂⁴	—	4	32	no	—
202	C₂⁴	—	4	16	no	—
203	C₂⁴	—	4	16	no	—
204	C₂⁴	—	4	32	no	—
205	C₂⁴	—	4	16	no	—
206	C₂⁴	—	4	16	no	—
207	C₂⁴	—	4	32	no	—
208	C₂⁴	#117	1	16	yes	—
209	C₂⁴	#117	1	16	yes	—
210	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
211	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
212	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
215	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
216	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
217	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
218	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
219	C₂×D₄	—	2	128	no	—
220	C₂×D₄	—	2	256	no	—
221	C₂×D₄	—	2	32	no	—
222	C₂×D₄	—	2	32	no	—
223	C₂×D₄	—	2	32	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
273	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
279	C₄²	—	2	32	no	—
280	C₄²	—	8	16	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	16	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	16	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	—	2	16	no	—
296	C₂³	—	2	16	no	—
297	C₂³	—	2	32	no	—
298	C₂³	—	2	16	no	—
299	C₂³	—	2	16	no	—
300	C₂³	—	2	32	no	—
301	C₂³	—	2	32	no	—
302	C₂³	—	4	32	no	—
303	C₂³	—	4	32	no	—
304	C₂³	—	4	16	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	32	no	—
307	C₂³	—	4	16	no	—
308	C₂³	—	4	16	no	—
309	C₂³	—	4	32	no	—
310	C₂³	—	4	128	no	—
311	C₂³	—	4	128	no	—
312	C₂³	—	4	16	no	—
313	C₂³	—	4	8	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	4	16	no	—
318	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
319	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
320	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
321	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
322	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
323	C₂³	#525	1	16	yes	—
324	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
326	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
327	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
328	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
329	C₂³	#585	1	4	yes	—
330	D₄	—	2	128	no	—
331	C₂×C₄	—	2	32	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	16	no	—
339	C₂×C₄	—	2	16	no	—
340	C₂×C₄	—	2	16	no	—
341	C₂×C₄	—	2	16	no	—
342	C₂×C₄	—	2	32	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	16	no	—
346	C₂×C₄	—	4	16	no	—
347	C₂×C₄	—	4	64	no	—
348	C₂×C₄	—	4	64	no	—
349	C₂×C₄	—	4	16	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	16	no	—
352	C₂×C₄	—	4	32	no	—
353	C₂×C₄	—	4	16	no	—
354	C₂×C₄	—	4	16	no	—
355	C₂×C₄	—	4	32	no	—
356	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
359	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
360	C₂²	—	2	8	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	8	no	—
364	C₂²	—	2	32	no	—
365	C₂²	—	2	16	no	—
366	C₂²	—	2	16	no	—
367	C₂²	—	2	8	no	—
368	C₂²	—	2	8	no	—
369	C₂²	—	4	64	no	—
370	C₂²	—	4	64	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	8	no	—
377	C₂²	—	4	32	no	—
378	C₂²	—	4	32	no	—
379	C₂²	#2280	1	8	yes	—
380	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
384	C₂²	#3428	1	2	yes	—
385	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
386	C₂²	#3459	1	8	yes	—
387	C₂²	#3484	1	4	yes	—
388	C₂²	#3487	1	4	yes	—
389	C₂²	#3505	1	8	yes	—
390	C₄	—	2	8	no	—
391	C₄	—	2	8	no	—
392	C₄	—	2	8	no	—
393	C₄	—	2	8	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	8	16	no	—
396	C₂	—	2	8	no	—
397	C₂	—	4	8	no	—
398	C₂	—	4	8	no	—
399	C₂	C₂×#2280	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#34057	1	2	yes	—
401	C₂	#34171	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#34174	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#34185	1	2	yes	—
404	C₂	#34987	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2313	C₂	semidirect
3. #14684	C₂	semidirect
4. #14680	C₂	semidirect
5. #14338	C₂	semidirect
7. #13890	C₂	semidirect
8. #13775	C₂	semidirect
9. C₄×#379	C₂	semidirect
14. C₂²×C₄×D₄	C₄	semidirect
21. C₂×#387	C₂²	semidirect
24. C₂×#380	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
29. #1439	C₂²	semidirect
31. #1437	C₂²	semidirect
32. #1434	C₂²	semidirect
35. C₂²⋊#95	C₂²	semidirect
36. C₂²⋊#95	C₂²	semidirect
152. C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×D₄	2
C₂×#2313	2
#14684	2
#14680	2
#14338	2
#14335	2
#13890	2
#13775	2
C₄×#379	2