Subgroups — #517442

Order 512.

6714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2313	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14681	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14680	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#14339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13882	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
8	#13776	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#379	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2313	—	2	16	no	—
21	C₂×#387	C₂²	1	16	yes	complemented
22	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
29	#1445	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1441	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1436	C₂²	1	16	yes	complemented
32	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
36	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
37	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
39	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
40	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
41	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
42	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
43	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
44	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
45	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	64	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
76	#387	—	2	64	no	—
77	#381	—	2	16	no	—
78	#381	—	2	16	no	—
79	#380	—	2	16	no	—
80	#380	—	4	16	no	—
81	#379	—	2	16	no	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
84	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂⁵	—	2	4	no	—
91	C₂⁵	—	2	4	no	—
92	C₂⁵	—	2	8	no	—
93	C₂⁵	—	2	8	no	—
94	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂⁵	#41	1	8	yes	—
96	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
139	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	256	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
170	#95	—	2	16	no	—
171	#95	—	2	16	no	—
172	#95	—	2	32	no	—
173	#95	—	2	32	no	—
174	#95	—	4	16	no	—
175	#95	—	4	16	no	—
176	C₂⁴	—	2	32	no	—
177	C₂⁴	—	2	32	no	—
178	C₂⁴	—	2	64	no	—
179	C₂⁴	—	2	8	no	—
180	C₂⁴	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	16	no	—
182	C₂⁴	—	2	16	no	—
183	C₂⁴	—	2	32	no	—
184	C₂⁴	—	2	64	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	#117	1	16	yes	—
192	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
195	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
197	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
198	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
199	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
200	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	256	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
250	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
264	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
265	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
268	C₄²	—	8	16	no	—
269	C₂³	—	2	32	no	—
270	C₂³	—	2	32	no	—
271	C₂³	—	2	64	no	—
272	C₂³	—	2	256	no	—
273	C₂³	—	2	64	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	16	no	—
281	C₂³	—	2	16	no	—
282	C₂³	—	2	16	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	16	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	16	no	—
287	C₂³	—	2	16	no	—
288	C₂³	—	2	16	no	—
289	C₂³	—	2	16	no	—
290	C₂³	—	2	32	no	—
291	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
293	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
295	C₂³	#518	1	8	yes	—
296	C₂³	#519	1	8	yes	—
297	C₂³	#525	1	16	yes	—
298	C₂³	#539	1	32	yes	—
299	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
304	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	—	2	128	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	16	no	—
316	C₂×C₄	—	2	32	no	—
317	C₂×C₄	—	2	32	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	—	4	64	no	—
325	C₂×C₄	—	4	64	no	—
326	C₂×C₄	—	4	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	16	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	32	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	32	no	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
339	C₂²	—	2	128	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	32	no	—
348	C₂²	—	2	64	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	2	8	no	—
352	C₂²	#2280	1	8	yes	—
353	C₂²	#2313	1	16	yes	complemented
354	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
358	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
360	C₂²	C₂×#539	1	8	yes	—
361	C₂²	#3484	1	4	yes	—
362	C₂²	#3486	1	4	yes	—
363	C₂²	#3492	1	8	yes	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	2	8	no	—
366	C₄	—	2	8	no	—
367	C₄	—	2	8	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	4	4	no	—
370	C₄	—	8	16	no	—
371	C₂	—	2	16	no	—
372	C₂	—	2	8	no	—
373	C₂	C₂×#2280	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#2313	1	2	yes	—
375	C₂	#34171	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#34178	1	2	yes	—
378	C₂	#34989	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2313	C₂	semidirect
5. #14342	C₂	semidirect
6. #14339	C₂	semidirect
7. #13882	C₂	semidirect
8. #13776	C₂	semidirect
14. C₂³×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
21. C₂×#387	C₂²	semidirect
29. #1445	C₂²	semidirect
30. #1441	C₂²	semidirect
31. #1436	C₂²	semidirect
156. C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
353. C₂²	#2313	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₄⋊C₄	2
C₂×#2313	2
#14681	2
#14680	2
#14342	2
#14339	2
#13882	2
#13776	2
C₄×#379	2