Subgroups — #517451

Order 512.

4626 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2315	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#14682	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14347	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#13896	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
6	#13794	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×C₂²⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
13	#2315	—	2	16	no	—
14	C₂×#385	C₂²	1	16	yes	—
15	C₂×#382	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂²×#95	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
21	#1442	C₂²	1	32	yes	complemented
22	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#1434	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#1434	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
29	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
32	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
33	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	8	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
41	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
42	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
43	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
44	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	8	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	—	4	8	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
57	#385	—	2	64	no	—
58	#382	—	4	16	no	—
59	#380	—	2	32	no	—
60	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
61	C₂×#95	—	4	16	no	—
62	C₂×#95	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
63	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
64	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
66	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
67	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
68	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂⁵	—	4	4	no	—
70	C₂⁵	—	4	4	no	—
71	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
72	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
73	C₂⁵	C₂×Q₈	1	4	yes	—
74	C₂⁵	#41	1	8	yes	—
75	C₂⁵	#41	1	8	yes	—
76	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
77	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
89	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	64	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
127	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
128	C₂×C₄²	—	4	32	no	—
129	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
132	#95	—	2	32	no	—
133	#95	—	2	32	no	—
134	#95	—	4	16	no	—
135	#95	—	4	16	no	—
136	#95	—	4	16	no	—
137	#95	C₂²×C₄	1	32	yes	—
138	C₂⁴	—	2	4	no	—
139	C₂⁴	—	2	8	no	—
140	C₂⁴	—	2	4	no	—
141	C₂⁴	—	2	8	no	—
142	C₂⁴	—	4	8	no	—
143	C₂⁴	—	4	16	no	—
144	C₂⁴	—	4	8	no	—
145	C₂⁴	—	4	16	no	—
146	C₂⁴	—	4	16	no	—
147	C₂⁴	—	4	32	no	—
148	C₂⁴	—	4	16	no	—
149	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
150	C₂⁴	#117	1	16	yes	—
151	C₂⁴	#117	1	16	yes	—
152	C₂⁴	#124	1	32	yes	—
153	C₂⁴	#125	1	32	yes	—
154	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
155	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
156	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
157	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
158	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
159	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
161	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
162	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
163	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
211	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
215	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	64	yes	—
216	C₄²	—	2	32	no	—
217	C₄²	—	4	16	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	8	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	8	no	—
222	C₂³	—	2	16	no	—
223	C₂³	—	2	32	no	—
224	C₂³	—	2	8	no	—
225	C₂³	—	2	16	no	—
226	C₂³	—	2	16	no	—
227	C₂³	—	2	8	no	—
228	C₂³	—	2	8	no	—
229	C₂³	—	2	16	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	2	16	no	—
232	C₂³	—	4	16	no	—
233	C₂³	—	4	32	no	—
234	C₂³	—	4	32	no	—
235	C₂³	—	4	16	no	—
236	C₂³	—	4	64	no	—
237	C₂³	—	4	64	no	—
238	C₂³	#382	1	64	yes	complemented
239	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
240	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
242	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
243	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
245	C₂³	C₂×#124	1	8	yes	—
246	C₂³	C₂×#124	1	16	yes	—
247	C₂³	C₂×#125	1	16	yes	—
248	C₂³	C₂×#125	1	8	yes	—
249	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
255	C₂³	#585	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	—	2	32	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	16	no	—
262	C₂×C₄	—	2	16	no	—
263	C₂×C₄	—	2	16	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	32	no	—
270	C₂×C₄	—	4	64	no	—
271	C₂×C₄	—	4	32	no	—
272	C₂×C₄	—	4	16	no	—
273	C₂×C₄	—	4	16	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	16	no	—
276	C₂×C₄	—	4	32	no	—
277	C₂×C₄	—	4	16	no	—
278	C₂×C₄	—	4	16	no	—
279	C₂×C₄	—	4	32	no	—
280	C₂×C₄	—	8	64	no	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
282	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
283	C₂²	—	2	8	no	—
284	C₂²	—	2	16	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	2	8	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	8	no	—
289	C₂²	—	2	8	no	—
290	C₂²	—	2	16	no	—
291	C₂²	—	2	32	no	—
292	C₂²	—	2	16	no	—
293	C₂²	—	2	16	no	—
294	C₂²	—	2	32	no	—
295	C₂²	—	4	64	no	—
296	C₂²	C₂×#382	1	16	yes	—
297	C₂²	C₂×#382	1	8	yes	—
298	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
302	C₂²	#3428	1	2	yes	—
303	C₂²	C₂²×#124	1	2	yes	—
304	C₂²	C₂²×#125	1	2	yes	—
305	C₂²	#3459	1	8	yes	—
306	C₂²	#3490	1	4	yes	—
307	C₂²	#3491	1	4	yes	—
308	C₂²	#3496	1	4	yes	—
309	C₂²	#3501	1	4	yes	—
310	C₄	—	2	8	no	—
311	C₄	—	2	16	no	—
312	C₄	—	4	8	no	—
313	C₄	—	4	4	no	—
314	C₄	—	8	16	no	—
315	C₂	—	2	8	no	—
316	C₂	—	2	16	no	—
317	C₂	C₂²×#382	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#34057	1	2	yes	—
319	C₂	#34176	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#34177	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#34181	1	2	yes	—
322	C₂	#34993	1	4	yes	—
323	C₂	#34994	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #14682	C₂	semidirect
4. #14347	C₂	semidirect
5. #13896	C₂	semidirect
15. C₂×#382	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
21. #1442	C₂²	semidirect
22. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
23. #1434	C₂²	semidirect
24. #1434	C₂²	semidirect
54. C₂²×C₄²	C₂×C₄	semidirect
60. C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×#95	C₂×C₄	semidirect
238. C₂³	#382	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2315	2
C₂²×C₄×C₂²⋊C₄	2
#14682	2
#14347	2
#13896	2
#13794	2
C₂×C₂²⋊#95	2