Subgroups — #51749

Order 256.

1229 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2731	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2700	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2678	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2640	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2610	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2557	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2404	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2372	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	H(3,𝔽₄)	—	2	8	no	—
17	#536	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#394	C₂²	1	2	yes	—
40	#394	C₂²	1	4	yes	—
41	#394	C₂²	1	4	yes	—
42	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#392	C₂²	1	2	yes	—
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#390	C₂²	1	4	yes	—
52	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	2	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	4	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	4	2	no	—
72	C₂×#41	—	4	2	no	—
73	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
93	#124	—	2	8	no	—
94	#124	—	2	4	no	—
95	#124	—	2	16	no	—
96	#124	—	2	8	no	—
97	#124	—	4	4	no	—
98	#124	D₄	1	8	yes	complemented
99	#123	—	2	16	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
101	#121	—	4	4	no	—
102	#120	—	2	8	no	—
103	#120	—	2	16	no	—
104	#120	—	4	4	no	—
105	#117	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#95	C₂³	1	2	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂⁴	—	2	4	no	—
145	C₂⁴	—	4	2	no	—
146	C₂⁴	—	4	4	no	—
147	C₂⁴	—	4	2	no	—
148	C₂⁴	—	4	4	no	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#41	—	4	16	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
166	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	2	8	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	1	no	—
175	C₂×D₄	—	4	1	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	4	no	—
230	C₄²	—	4	4	no	—
231	C₄²	—	4	2	no	—
232	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₂³	—	2	1	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	1	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	4	8	no	—
248	C₂³	—	8	4	no	—
249	C₂³	—	8	8	no	—
250	C₂³	—	8	4	no	—
251	C₂³	—	8	8	no	—
252	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
255	Q₈	—	4	4	no	—
256	Q₈	—	4	8	no	—
257	Q₈	—	4	4	no	—
258	Q₈	—	4	4	no	—
259	Q₈	—	8	4	no	—
260	D₄	—	4	4	no	—
261	D₄	—	4	8	no	—
262	D₄	—	8	4	no	—
263	D₄	—	8	4	no	—
264	D₄	—	8	8	no	—
265	D₄	—	8	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	2	8	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	8	16	no	—
315	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#585	1	4	yes	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	4	4	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₂	—	4	2	no	—
330	C₂	—	4	4	no	—
331	C₂	—	8	4	no	—
332	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#3500	1	2	yes	—
334	C₂	#3540	1	2	yes	—
335	C₂	#3545	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	semidirect
2. C₂×#536	C₂	semidirect
3. #2731	C₂	semidirect
4. #2700	C₂	semidirect
5. #2684	C₂	semidirect
6. #2678	C₂	semidirect
7. #2640	C₂	semidirect
8. #2610	C₂	semidirect
9. #2557	C₂	semidirect
10. #2472	C₂	semidirect
11. #2436	C₂	semidirect
12. #2404	C₂	semidirect
13. #2372	C₂	semidirect
15. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×#123	C₂²	semidirect
27. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#120	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
34. #397	C₂²	semidirect
35. #397	C₂²	semidirect
36. #397	C₂²	semidirect
37. #396	C₂²	semidirect
38. #395	C₂²	semidirect
42. #393	C₂²	semidirect
43. #393	C₂²	semidirect
44. #393	C₂²	semidirect
45. #393	C₂²	semidirect
48. #391	C₂²	semidirect
49. #391	C₂²	semidirect
50. #391	C₂²	semidirect
52. #390	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
56. #388	C₂²	semidirect
57. #387	C₂²	semidirect
61. #386	C₂²	semidirect
62. #386	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
64. #381	C₂²	semidirect
65. #379	C₂²	semidirect
66. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
67. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
68. #376	C₂²	semidirect
98. #124	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×H(3,𝔽₄)	2
C₂×#536	2
#2731	2
#2700	2
#2684	2
#2678	2
#2640	2
#2610	2
#2557	2
#2472	2
#2436	2
#2404	2
#2372	2