Subgroups — #517492

Order 512.

3466 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#14687	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#14348	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13911	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#13881	C₂	1	8	yes	maximal
8	#13795	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2285	—	2	8	no	—
15	C₂×#384	—	2	8	no	—
16	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#382	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
23	C₄×#117	C₄	1	16	yes	complemented
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
29	#1442	C₂²	1	32	yes	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
33	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#117	—	2	8	no	—
38	C₂×#117	—	2	8	no	—
39	C₂×#117	—	2	8	no	—
40	C₂×#117	—	2	16	no	—
41	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
58	C₂²×C₄²	Q₈	1	8	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	#384	—	2	16	no	—
66	#384	—	2	8	no	—
67	#384	—	2	8	no	—
68	#384	—	2	8	no	—
69	#382	—	2	8	no	—
70	#382	—	4	32	no	—
71	#380	—	2	16	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
75	#376	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
76	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#95	C₂³	1	64	yes	—
78	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
79	C₄³	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
80	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
93	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
101	#117	—	2	64	no	—
102	#117	—	4	32	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
127	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	64	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	32	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
145	#95	—	2	16	no	—
146	#95	—	4	64	no	—
147	#95	C₂²×C₄	1	32	yes	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
152	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
154	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
155	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
178	C₂²×C₄	#117	1	32	yes	—
179	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
180	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
181	C₂²×C₄	#125	1	32	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	16	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
201	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
211	C₄²	—	2	32	no	—
212	C₄²	—	2	64	no	—
213	C₄²	—	4	16	no	—
214	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
215	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
216	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
217	C₂³	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	8	no	—
221	C₂³	—	2	8	no	—
222	C₂³	—	2	8	no	—
223	C₂³	—	2	16	no	—
224	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
226	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
227	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
228	C₂³	C₂×#125	1	8	yes	—
229	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
233	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
235	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	64	no	—
241	C₂×C₄	—	2	16	no	—
242	C₂×C₄	—	2	32	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂×C₄	—	4	16	no	—
246	C₂×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	4	16	no	—
249	C₂×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂×C₄	—	4	32	no	—
252	C₂×C₄	—	4	32	no	—
253	C₂×C₄	—	8	32	no	—
254	C₂×C₄	#382	1	64	yes	complemented
255	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
261	C₂×C₄	#520	1	16	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×#125	1	8	yes	—
268	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
270	C₂×C₄	#544	1	16	yes	—
271	C₂²	—	2	8	no	—
272	C₂²	—	2	16	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	16	no	—
275	C₂²	—	2	8	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	C₂×#382	1	8	yes	—
278	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂²×#117	1	2	yes	—
280	C₂²	C₂×#520	1	4	yes	—
281	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂²×#125	1	2	yes	—
284	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
285	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂×#544	1	4	yes	—
287	C₂²	#3508	1	4	yes	—
288	C₂²	#3509	1	4	yes	—
289	C₂²	#3511	1	8	yes	—
290	C₄	—	2	8	no	—
291	C₄	—	4	16	no	—
292	C₄	—	8	8	no	—
293	C₄	—	8	8	no	—
294	C₄	C₂×#382	1	8	yes	—
295	C₄	C₂×#382	1	8	yes	—
296	C₄	#2317	1	16	yes	—
297	C₂	—	2	8	no	—
298	C₂	C₂²×#382	1	1	yes	characteristic
299	C₂	C₂×#2317	1	2	yes	—
300	C₂	#34188	1	4	yes	—
301	C₂	#35285	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#35286	1	4	yes	—
303	C₂	#35289	1	2	yes	—
304	C₂	#35320	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #14687	C₂	semidirect
5. #14348	C₂	semidirect
6. #13911	C₂	semidirect
23. C₄×#117	C₄	semidirect
73. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
75. #376	C₂×C₄	semidirect
79. C₄³	C₂×C₄	semidirect
254. C₂×C₄	#382	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2285	2
C₂²×#384	2
C₂×C₄×#117	2
#14687	2
#14348	2
#13911	2
#13881	2
#13795	2