Subgroups — #517561

Order 512.

5302 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14686	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14337	C₂	1	2	yes	maximal
6	#13925	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13905	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#13871	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#13777	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	—	2	16	no	—
12	C₂×C₄×#41	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2285	—	2	16	no	—
22	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#380	C₂²	1	16	yes	—
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	#1446	C₂²	1	4	yes	—
31	#1445	C₂²	1	8	yes	—
32	#1440	C₂²	1	8	yes	—
33	#1438	C₂²	1	8	yes	—
34	#1438	C₂²	1	4	yes	—
35	#1437	C₂²	1	16	yes	—
36	#1436	C₂²	1	16	yes	—
37	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
38	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
39	C₂²×#41	—	2	8	no	—
40	C₂²×#41	—	2	16	no	—
41	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₄×#41	—	2	128	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	C₂×#117	—	2	8	no	—
60	C₂×#117	—	2	16	no	—
61	C₂×#117	—	2	16	no	—
62	C₂×#117	—	4	16	no	—
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
75	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄²	D₄	1	16	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
84	#384	—	2	16	no	—
85	#382	—	2	16	no	—
86	#380	—	2	16	no	—
87	#380	—	2	16	no	—
88	#380	—	2	32	no	—
89	#380	—	4	32	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
96	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂×#41	—	2	128	no	—
99	C₂×#41	—	2	32	no	—
100	C₂×#41	—	2	64	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
136	C₄×D₄	—	2	128	no	—
137	C₄×D₄	—	2	64	no	—
138	#117	—	2	32	no	—
139	#117	—	2	64	no	—
140	#117	—	4	64	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	64	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
179	#95	—	2	16	no	—
180	#95	—	2	16	no	—
181	#95	—	2	32	no	—
182	#95	—	4	32	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	8	no	—
190	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
191	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
192	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
193	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
194	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	2	256	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
199	C₂×D₄	—	2	32	no	—
200	C₂×D₄	—	2	64	no	—
201	C₂×D₄	—	2	16	no	—
202	C₂×D₄	—	2	16	no	—
203	C₂×D₄	—	2	16	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
236	C₂²×C₄	#117	1	32	yes	complemented
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
262	C₄²	—	2	16	no	—
263	C₄²	—	2	32	no	—
264	C₄²	—	4	32	no	—
265	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
266	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
267	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	16	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	16	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	2	16	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
291	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
292	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
297	Q₈	—	2	32	no	—
298	D₄	—	2	32	no	—
299	D₄	—	2	64	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	64	no	—
310	C₂×C₄	—	2	32	no	—
311	C₂×C₄	—	2	64	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	64	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	—	4	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	32	no	—
322	C₂×C₄	—	4	32	no	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#117	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	#520	1	16	yes	—
330	C₂×C₄	#525	1	16	yes	—
331	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	#537	1	16	yes	—
334	C₂²	—	2	16	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	2	8	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	4	16	no	—
342	C₂²	—	4	8	no	—
343	C₂²	—	4	16	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂²×#117	1	2	yes	—
347	C₂²	C₂×#520	1	4	yes	—
348	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
349	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#537	1	4	yes	—
352	C₂²	#3508	1	4	yes	—
353	C₂²	#3509	1	4	yes	—
354	C₂²	#3511	1	8	yes	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	8	no	—
357	C₄	—	2	8	no	—
358	C₄	—	4	8	no	—
359	C₄	—	8	16	no	—
360	C₄	#2280	1	8	yes	—
361	C₄	#2311	1	16	yes	—
362	C₂	—	4	8	no	—
363	C₂	—	4	4	no	—
364	C₂	C₂×#2280	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₂×#2311	1	2	yes	—
366	C₂	#34188	1	4	yes	—
367	C₂	#35292	1	4	yes	—
368	C₂	#35297	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2285	C₂	semidirect
3. #14686	C₂	semidirect
4. #14343	C₂	semidirect
6. #13925	C₂	semidirect
7. #13905	C₂	semidirect
8. #13871	C₂	semidirect
9. #13777	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×#41	C₄	semidirect
169. C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	semidirect
236. C₂²×C₄	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×#2285	2
#14686	2
#14343	2
#14337	2
#13925	2
#13905	2
#13871	2
#13777	2