Subgroups — #517574

Order 512.

6874 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2280	C₂	1	2	yes	maximal
3	#14681	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14681	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14339	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13923	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#13870	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#13776	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	#2280	—	2	16	no	—
20	C₂×#381	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#381	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	#1441	C₂²	1	32	yes	complemented
29	#1436	C₂²	1	32	yes	complemented
30	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
36	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
37	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
38	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
39	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#117	—	2	16	no	—
55	C₂×#117	—	4	16	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
74	#381	—	2	16	no	—
75	#381	—	2	32	no	—
76	#381	—	4	16	no	—
77	#380	—	2	16	no	—
78	#380	—	2	16	no	—
79	#379	—	2	16	no	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
82	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
86	C₂⁵	—	2	8	no	—
87	C₂⁵	—	2	8	no	—
88	C₂⁵	—	2	8	no	—
89	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
91	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	#117	—	4	64	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
162	#95	—	2	16	no	—
163	#95	—	2	16	no	—
164	#95	—	2	64	no	—
165	#95	—	4	32	no	—
166	C₂⁴	—	2	128	no	—
167	C₂⁴	—	2	16	no	—
168	C₂⁴	—	2	16	no	—
169	C₂⁴	—	2	16	no	—
170	C₂⁴	—	2	32	no	—
171	C₂⁴	—	2	32	no	—
172	C₂⁴	—	2	32	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	4	no	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
180	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
184	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
185	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
187	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
188	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
189	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	256	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
235	C₂²×C₄	#117	1	32	yes	complemented
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	16	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
251	C₄²	—	4	32	no	—
252	C₂³	—	2	128	no	—
253	C₂³	—	2	256	no	—
254	C₂³	—	2	32	no	—
255	C₂³	—	2	32	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	32	no	—
269	C₂³	—	2	32	no	—
270	C₂³	—	2	32	no	—
271	C₂³	—	2	32	no	—
272	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂×#117	1	8	yes	—
276	C₂³	#518	1	8	yes	—
277	C₂³	#519	1	8	yes	—
278	C₂³	#525	1	16	yes	—
279	C₂³	#534	1	16	yes	—
280	C₂³	#536	1	16	yes	—
281	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	—	2	64	no	—
287	C₂×C₄	—	2	64	no	—
288	C₂×C₄	—	2	64	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	32	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	64	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	4	32	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	32	no	—
305	C₂×C₄	—	4	32	no	—
306	C₂×C₄	—	4	32	no	—
307	C₂×C₄	—	4	16	no	—
308	C₂×C₄	—	4	16	no	—
309	C₂×C₄	—	4	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	16	no	—
311	C₂×C₄	—	4	64	no	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#117	1	16	yes	—
315	C₂²	—	2	128	no	—
316	C₂²	—	2	16	no	—
317	C₂²	—	2	16	no	—
318	C₂²	—	2	16	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	32	no	—
322	C₂²	—	2	32	no	—
323	C₂²	—	2	32	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	#2280	1	8	yes	—
329	C₂²	#2308	1	8	yes	—
330	C₂²	#2310	1	8	yes	—
331	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×#117	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#525	1	4	yes	—
336	C₂²	C₂×#534	1	4	yes	—
337	C₂²	C₂×#536	1	4	yes	—
338	C₂²	#3492	1	16	yes	—
339	C₄	—	2	16	no	—
340	C₄	—	2	8	no	—
341	C₄	—	2	8	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₄	—	8	16	no	—
344	C₂	—	2	8	no	—
345	C₂	—	2	8	no	—
346	C₂	—	2	8	no	—
347	C₂	C₂×#2280	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#2308	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#2310	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#34178	1	4	yes	—
351	C₂	#35057	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #14339	C₂	semidirect
6. #13923	C₂	semidirect
7. #13870	C₂	semidirect
8. #13776	C₂	semidirect
14. C₂³×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
28. #1441	C₂²	semidirect
29. #1436	C₂²	semidirect
235. C₂²×C₄	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₄⋊C₄	2
C₂×#2280	2
#14681	2
#14339	2
#13923	2
#13870	2
#13776	2