Subgroups — #517593

Order 512.

17526 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 317 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14337	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#13937	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#13922	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#13851	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
9	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	2	32	no	—
10	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂³×#41	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂³×#41	C₂²	1	6	yes	—
13	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
17	#2341	—	2	16	no	—
18	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
19	C₂×#391	C₂²	1	24	yes	—
20	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂×#380	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
25	#1446	C₂²	1	6	yes	—
26	#1446	C₂²	1	6	yes	—
27	#1438	C₂²	1	3	yes	—
28	#1438	C₂²	1	12	yes	—
29	#1438	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1438	C₂²	1	12	yes	—
31	C₂²⋊#95	C₂²	1	24	yes	—
32	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	512	no	—
33	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	128	no	—
34	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	256	no	—
35	C₂²×#41	—	2	48	no	—
36	C₂²×#41	—	2	16	no	—
37	C₂²×#41	—	2	48	no	—
38	C₂²×#41	—	2	24	no	—
39	C₂²×#41	—	2	48	no	—
40	C₂²×#41	—	2	48	no	—
41	C₂²×#41	C₂×C₄	1	48	yes	—
42	C₂²×#41	C₂×C₄	1	24	yes	—
43	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²×#41	D₄	1	16	yes	—
45	C₂³×Q₈	—	2	48	no	—
46	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
48	C₂³×Q₈	—	2	24	no	—
49	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
50	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
51	C₂³×Q₈	D₄	1	32	yes	—
52	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
53	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
69	#391	—	2	96	no	—
70	#390	—	2	48	no	—
71	#380	—	2	48	no	—
72	#380	—	2	24	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
75	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
76	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
77	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂⁵	C₂⁴	1	3	yes	—
80	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
81	2₋¹⁺⁴	—	2	2048	no	—
82	C₂×#41	—	2	768	no	—
83	C₂×#41	—	2	384	no	—
84	C₂×#41	—	2	192	no	—
85	C₂×#41	—	2	64	no	—
86	C₂×#41	—	2	128	no	—
87	C₂×#41	—	2	192	no	—
88	C₂×#41	—	2	96	no	—
89	C₂×#41	—	2	192	no	—
90	C₂×#41	—	2	192	no	—
91	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
92	C₂²×Q₈	—	2	384	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	192	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	256	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	96	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	128	yes	complemented
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	48	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
109	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	48	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
134	C₄×Q₈	—	4	64	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	48	no	—
148	#95	—	2	4	no	—
149	#95	—	2	12	no	—
150	#95	—	2	48	no	—
151	#95	—	2	48	no	—
152	C₂⁴	—	2	12	no	—
153	C₂⁴	—	2	4	no	—
154	C₂⁴	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	8	no	—
156	C₂⁴	—	2	12	no	—
157	C₂⁴	—	2	8	no	—
158	C₂⁴	—	2	12	no	—
159	C₂⁴	C₂³×C₄	1	6	yes	—
160	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₂²×D₄	1	12	yes	—
162	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
163	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
164	#41	—	2	1536	no	—
165	#41	—	2	768	no	—
166	#41	—	2	256	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	768	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	512	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	192	no	—
175	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	96	yes	—
176	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
177	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
178	C₂×Q₈	#120	1	64	yes	—
179	C₂×D₄	—	2	192	no	—
180	C₂×D₄	—	2	32	no	—
181	C₂×D₄	—	2	48	no	—
182	C₂×D₄	—	2	48	no	—
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	2	48	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	48	no	—
187	C₂×D₄	—	2	96	no	—
188	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
189	C₂²×C₄	—	2	192	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	192	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	96	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
218	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	complemented
219	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	8	24	no	—
224	C₄²	—	4	48	no	—
225	C₂³	—	2	12	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	16	no	—
229	C₂³	—	2	24	no	—
230	C₂³	—	2	24	no	—
231	C₂³	—	2	16	no	—
232	C₂³	—	2	8	no	—
233	C₂³	—	2	8	no	—
234	C₂³	—	2	24	no	—
235	C₂³	—	2	16	no	—
236	C₂³	—	2	12	no	—
237	C₂³	—	2	12	no	—
238	C₂³	—	4	4	no	—
239	C₂³	—	4	12	no	—
240	C₂³	—	4	4	no	—
241	C₂³	—	4	12	no	—
242	C₂³	—	4	8	no	—
243	C₂³	—	4	8	no	—
244	C₂³	—	4	24	no	—
245	C₂³	—	4	4	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
248	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
249	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
251	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
253	C₂³	#585	1	4	yes	—
254	Q₈	—	2	96	no	—
255	Q₈	—	2	192	no	—
256	Q₈	#379	1	64	yes	—
257	D₄	—	2	192	no	—
258	D₄	—	2	32	no	—
259	D₄	—	2	96	no	—
260	C₂×C₄	—	2	192	no	—
261	C₂×C₄	—	2	12	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	12	no	—
264	C₂×C₄	—	2	48	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	96	no	—
267	C₂×C₄	—	2	192	no	—
268	C₂×C₄	—	2	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	12	no	—
274	C₂×C₄	—	4	24	no	—
275	C₂×C₄	—	4	12	no	—
276	C₂×C₄	—	4	24	no	—
277	C₂×C₄	—	4	12	no	—
278	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
279	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#120	1	48	yes	—
283	C₂²	—	2	16	no	—
284	C₂²	—	2	12	no	—
285	C₂²	—	2	8	no	—
286	C₂²	—	2	24	no	—
287	C₂²	—	4	16	no	—
288	C₂²	—	4	24	no	—
289	C₂²	—	4	16	no	—
290	C₂²	—	4	24	no	—
291	C₂²	—	4	8	no	—
292	C₂²	—	4	24	no	—
293	C₂²	—	4	8	no	—
294	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₄×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
297	C₂²	C₂²×#120	1	4	yes	—
298	C₂²	#3486	1	4	yes	—
299	C₂²	#3487	1	4	yes	—
300	C₂²	#3489	1	4	yes	—
301	C₂²	#3497	1	8	yes	—
302	C₂²	#3499	1	2	yes	—
303	C₂²	#3500	1	2	yes	—
304	C₄	—	2	24	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	4	8	no	—
307	C₄	—	8	12	no	—
308	C₄	C₂×#379	1	24	yes	—
309	C₂	—	4	8	no	—
310	C₂	—	4	12	no	—
311	C₂	C₂²×#379	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#34257	1	4	yes	—
313	C₂	#34259	1	2	yes	—
314	C₂	#35687	1	4	yes	—
315	C₂	#35757	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×2₋¹⁺⁴	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2341	C₂	semidirect
3. C₂×Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
4. #14337	C₂	semidirect
5. #13937	C₂	semidirect
6. #13922	C₂	semidirect
7. #13851	C₂	semidirect
10. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₄	semidirect
91. C₂×#41	C₂²⋊C₄	semidirect
102. C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
218. C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×2₋¹⁺⁴	2
C₂×#2341	2
C₂×Q₈×C₂²⋊C₄	2
#14337	2
#13937	2
#13922	2
#13851	2