Subgroups — #518706

Order 512.

6122 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2341	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#14272	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#14154	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#13998	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
8	#13905	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#13847	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#550	—	2	8	no	—
12	C₂×#550	—	2	8	no	—
13	C₂×#550	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂²×#127	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂²×#121	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
20	#2351	—	2	8	no	—
21	#2341	—	2	32	no	—
22	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
23	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
25	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#382	C₂²	1	3	yes	—
27	C₂×#380	C₂²	1	12	yes	—
28	#2276	—	2	8	no	—
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
32	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	12	yes	—
33	C₂×#376	C₂²	1	3	yes	—
34	#1445	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1445	C₂²	1	3	yes	—
36	#1439	C₂²	1	12	yes	—
37	#1438	C₂²	1	3	yes	—
38	#1438	C₂²	1	3	yes	—
39	#1438	C₂²	1	6	yes	—
40	#1438	C₂²	1	12	yes	—
41	#1437	C₂²	1	12	yes	—
42	C₂²×#41	—	2	16	no	—
43	C₂²×#41	—	2	8	no	—
44	C₂²×#41	—	2	8	no	—
45	C₂²×#41	—	2	16	no	—
46	C₂²×#41	C₂×C₄	1	16	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	6	yes	—
52	#550	—	2	128	no	—
53	C₂×#127	—	2	12	no	—
54	C₂×#127	—	2	12	no	—
55	C₂×#127	C₂×C₄	1	24	yes	—
56	C₂×#121	—	2	24	no	—
57	C₂×#121	—	2	24	no	—
58	C₂×#121	C₂×C₄	1	48	yes	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
65	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	16	yes	complemented
67	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
83	#390	—	2	48	no	—
84	#390	—	2	48	no	—
85	#390	—	4	24	no	—
86	#389	—	2	24	no	—
87	#382	—	2	12	no	—
88	#380	—	2	48	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
93	#376	—	2	12	no	—
94	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
98	C₂×#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
100	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
101	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
103	C₂×#41	—	2	64	no	—
104	C₂×#41	—	2	128	no	—
105	C₂×#41	—	4	64	no	—
106	C₂×#41	—	4	32	no	—
107	C₂×#41	—	4	32	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
112	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
124	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
126	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
127	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
128	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
140	#127	—	2	96	no	—
141	#121	—	2	192	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
144	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
145	C₄×D₄	—	2	96	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
172	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
182	#95	—	2	2	no	—
183	#95	—	2	12	no	—
184	#95	—	2	6	no	—
185	#95	—	2	8	no	—
186	#95	—	2	24	no	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	#95	—	2	6	no	—
189	#95	—	2	12	no	—
190	C₂⁴	—	2	12	no	—
191	C₂⁴	—	2	6	no	—
192	C₂⁴	—	2	6	no	—
193	C₂⁴	—	2	12	no	—
194	C₂⁴	—	2	12	no	—
195	C₂⁴	—	2	12	no	—
196	C₂⁴	—	2	12	no	—
197	C₂⁴	—	2	12	no	—
198	C₂⁴	C₂³×C₄	1	12	yes	—
199	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
200	#41	—	4	256	no	—
201	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
202	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	32	yes	—
203	C₂×Q₈	#121	1	32	yes	—
204	C₂×Q₈	#124	1	16	yes	—
205	C₂×Q₈	#127	1	16	yes	—
206	C₂×D₄	—	2	24	no	—
207	C₂×D₄	—	2	48	no	—
208	C₂×D₄	—	2	48	no	—
209	C₂×D₄	—	2	96	no	—
210	C₂×D₄	—	4	24	no	—
211	C₂×D₄	—	4	24	no	—
212	C₂×D₄	—	4	24	no	—
213	C₂×D₄	—	4	48	no	—
214	C₂×D₄	—	4	48	no	—
215	C₂×D₄	—	4	24	no	—
216	C₂×D₄	—	4	24	no	—
217	C₂×D₄	—	8	24	no	—
218	C₂×D₄	—	8	12	no	—
219	C₂×D₄	—	8	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
268	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	8	48	no	—
273	C₄²	—	2	48	no	—
274	C₄²	—	4	24	no	—
275	C₄²	—	8	12	no	—
276	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
277	C₂³	—	2	12	no	—
278	C₂³	—	2	24	no	—
279	C₂³	—	2	12	no	—
280	C₂³	—	2	12	no	—
281	C₂³	—	2	24	no	—
282	C₂³	—	4	12	no	—
283	C₂³	—	4	6	no	—
284	C₂³	—	4	6	no	—
285	C₂³	—	4	12	no	—
286	C₂³	—	4	12	no	—
287	C₂³	—	4	12	no	—
288	C₂³	—	4	12	no	—
289	C₂³	—	4	12	no	—
290	C₂³	—	4	12	no	—
291	C₂³	—	4	12	no	—
292	C₂³	—	4	6	no	—
293	C₂³	—	4	6	no	—
294	C₂³	—	4	12	no	—
295	C₂³	—	4	12	no	—
296	C₂³	—	4	12	no	—
297	C₂³	—	4	12	no	—
298	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₂³	#585	1	4	yes	—
305	C₂³	#585	1	2	yes	—
306	Q₈	#390	1	64	yes	complemented
307	D₄	—	4	48	no	—
308	D₄	—	4	96	no	—
309	D₄	—	8	48	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	12	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	12	no	—
315	C₂×C₄	—	2	6	no	—
316	C₂×C₄	—	2	6	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	12	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	24	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	6	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	6	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	12	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	96	no	—
338	C₂×C₄	—	4	6	no	—
339	C₂×C₄	—	4	12	no	—
340	C₂×C₄	—	4	6	no	—
341	C₂×C₄	—	4	12	no	—
342	C₂×C₄	—	4	6	no	—
343	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	24	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	24	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#124	1	12	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#127	1	12	yes	—
350	C₂²	—	4	12	no	—
351	C₂²	—	4	12	no	—
352	C₂²	—	4	12	no	—
353	C₂²	—	4	24	no	—
354	C₂²	—	4	24	no	—
355	C₂²	—	8	12	no	—
356	C₂²	—	8	12	no	—
357	C₂²	—	8	12	no	—
358	C₂²	—	8	12	no	—
359	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	2	yes	—
361	C₂²	#3428	1	2	yes	—
362	C₂²	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3487	1	2	yes	—
367	C₂²	#3487	1	2	yes	—
368	C₂²	#3487	1	4	yes	—
369	C₂²	#3488	1	4	yes	—
370	C₂²	#3488	1	2	yes	—
371	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#3500	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#3517	1	4	yes	—
374	C₂²	#3524	1	4	yes	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	12	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	4	12	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	8	6	no	—
382	C₄	C₂×#390	1	24	yes	—
383	C₂	—	8	12	no	—
384	C₂	C₂²×#390	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#34174	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#34258	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#34295	1	4	yes	—
388	C₂	#36018	1	2	yes	—
389	C₂	#36029	1	2	yes	—
390	C₂	#36049	1	2	yes	—
391	C₂	#36066	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#550	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2351	C₂	semidirect
3. C₂×#2341	C₂	semidirect
4. C₂×#2276	C₂	semidirect
5. #14272	C₂	semidirect
6. #14154	C₂	semidirect
7. #13998	C₂	semidirect
8. #13905	C₂	semidirect
9. #13847	C₂	semidirect
13. C₂×#550	C₄	semidirect
66. C₂×C₄×Q₈	D₄	semidirect
144. C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
306. Q₈	#390	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#550	2
C₂×#2351	2
C₂×#2341	2
C₂×#2276	2
#14272	2
#14154	2
#13998	2
#13905	2
#13847	2