Subgroups — #518782

Order 512.

3998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 329 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×Q₈²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2351	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#14282	C₂	1	3	yes	maximal
5	#14155	C₂	1	3	yes	maximal
6	#14053	C₂	1	12	yes	maximal
7	#13925	C₂	1	3	yes	maximal
8	#13850	C₂	1	3	yes	maximal
9	Q₈×#95	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₂×Q₈²	—	2	8	no	—
11	C₂×Q₈²	—	2	8	no	—
12	C₂×Q₈²	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2351	—	2	8	no	—
21	C₂×#391	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×#389	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#382	C₂²	1	3	yes	—
24	#2276	—	2	8	no	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×#376	C₂²	1	3	yes	—
29	#1446	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1446	C₂²	1	3	yes	—
31	#1446	C₂²	1	12	yes	—
32	#1445	C₂²	1	3	yes	—
33	#1445	C₂²	1	3	yes	—
34	#1445	C₂²	1	6	yes	—
35	#1441	C₂²	1	12	yes	—
36	#1436	C₂²	1	12	yes	—
37	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
38	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
39	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
40	C₄×#95	C₂²	1	12	yes	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	Q₈²	—	2	128	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	48	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	16	yes	complemented
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
77	#391	—	4	24	no	—
78	#389	—	2	24	no	—
79	#382	—	2	12	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
83	#376	—	2	12	no	—
84	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#95	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
108	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	192	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	96	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	96	no	—
123	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
124	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	24	yes	—
145	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	24	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	24	yes	—
158	#95	—	2	2	no	—
159	#95	—	2	12	no	—
160	#95	—	2	6	no	—
161	#95	—	2	2	no	—
162	#95	—	2	6	no	—
163	#95	—	2	12	no	—
164	#95	—	2	24	no	—
165	#95	—	2	8	no	—
166	#95	—	2	24	no	—
167	#95	—	4	12	no	—
168	#95	—	4	24	no	—
169	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
176	C₂×Q₈	—	8	24	no	—
177	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
178	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
179	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
180	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	32	yes	—
181	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
182	C₂×Q₈	#124	1	16	yes	—
183	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
234	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
235	C₄²	—	2	48	no	—
236	C₄²	—	2	48	no	—
237	C₄²	—	4	24	no	—
238	C₄²	—	8	12	no	—
239	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
240	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
245	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
247	C₂³	#585	1	2	yes	—
248	Q₈	—	2	32	no	—
249	Q₈	—	8	48	no	—
250	Q₈	#391	1	64	yes	complemented
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	12	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	12	no	—
260	C₂×C₄	—	2	6	no	—
261	C₂×C₄	—	2	6	no	—
262	C₂×C₄	—	2	12	no	—
263	C₂×C₄	—	2	24	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	12	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	24	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	6	no	—
274	C₂×C₄	—	4	12	no	—
275	C₂×C₄	—	4	6	no	—
276	C₂×C₄	—	4	6	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	6	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	12	no	—
282	C₂×C₄	—	4	6	no	—
283	C₂×C₄	—	4	6	no	—
284	C₂×C₄	—	4	6	no	—
285	C₂×C₄	—	4	12	no	—
286	C₂×C₄	—	4	12	no	—
287	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	24	yes	—
291	C₂×C₄	#519	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#124	1	12	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
295	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
298	C₂²	C₄×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#3486	1	2	yes	—
303	C₂²	#3486	1	2	yes	—
304	C₂²	#3488	1	2	yes	—
305	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#3500	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#3502	1	4	yes	—
308	C₂²	#3503	1	4	yes	—
309	C₂²	#3518	1	4	yes	—
310	C₂²	#3522	1	4	yes	—
311	C₄	—	2	4	no	—
312	C₄	—	2	8	no	—
313	C₄	—	2	12	no	—
314	C₄	—	4	4	no	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	—	4	12	no	—
317	C₄	—	4	12	no	—
318	C₄	—	8	6	no	—
319	C₄	C₂×#391	1	24	yes	—
320	C₂	C₂²×#391	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#34258	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#34335	1	4	yes	—
324	C₂	#35711	1	2	yes	—
325	C₂	#35748	1	2	yes	—
326	C₂	#35937	1	2	yes	—
327	C₂	#35948	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
12. C₂×Q₈²	C₄	semidirect
64. C₂×C₄×Q₈	Q₈	semidirect
250. Q₈	#391	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×Q₈²	2
C₂×#2351	2
C₂×#2276	2
#14282	2
#14155	2
#14053	2
#13925	2
#13850	2
Q₈×#95	2