Subgroups — #51902

Order 256.

1581 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2670	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2669	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2657	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2610	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2555	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2433	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2403	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2372	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
17	H(3,𝔽₄)	—	2	8	no	—
18	#535	—	2	8	no	—
19	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#392	C₂²	1	2	yes	—
45	#392	C₂²	1	4	yes	—
46	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#386	C₂²	1	2	yes	—
62	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#41	—	2	4	no	—
72	C₂×#41	—	4	2	no	—
73	C₂×#41	—	4	2	no	—
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	#127	—	2	4	no	—
100	#127	—	2	4	no	—
101	#127	—	4	8	no	—
102	#127	—	4	4	no	—
103	#124	—	2	4	no	—
104	#124	—	2	8	no	—
105	#124	—	2	16	no	—
106	#124	—	2	8	no	—
107	#124	—	4	8	no	—
108	#124	D₄	1	8	yes	complemented
109	#121	—	2	16	no	—
110	#121	—	4	4	no	—
111	#121	—	4	8	no	—
112	#120	—	2	8	no	—
113	#120	—	2	16	no	—
114	#120	—	2	16	no	—
115	#120	—	4	8	no	—
116	#120	—	4	8	no	—
117	#120	—	4	4	no	—
118	#117	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	#95	C₂³	1	2	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	#95	C₂³	1	2	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	4	no	—
152	C₂⁴	—	2	4	no	—
153	C₂⁴	—	4	2	no	—
154	C₂⁴	—	4	4	no	—
155	C₂⁴	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	4	no	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#41	—	4	16	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
170	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	8	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	—	2	2	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	1	no	—
191	C₂×D₄	—	4	1	no	—
192	C₂×D₄	—	4	1	no	—
193	C₂×D₄	—	4	1	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	1	no	—
196	C₂×D₄	—	4	1	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	32	no	—
216	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	8	4	no	—
286	C₂³	—	8	8	no	—
287	C₂³	—	8	8	no	—
288	C₂³	—	8	4	no	—
289	C₂³	—	8	4	no	—
290	C₂³	—	8	8	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	Q₈	—	8	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	16	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	4	16	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	8	no	—
306	D₄	—	8	4	no	—
307	D₄	—	8	8	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	8	no	—
311	D₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	8	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	8	16	no	—
364	C₂²	—	8	16	no	—
365	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	2	8	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₂	—	4	2	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	—	8	2	no	—
380	C₂	—	8	2	no	—
381	C₂	—	8	4	no	—
382	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3498	1	2	yes	—
384	C₂	#3532	1	2	yes	—
385	C₂	#3549	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×H(3,𝔽₄)	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. #2733	C₂	semidirect
4. #2670	C₂	semidirect
5. #2669	C₂	semidirect
6. #2669	C₂	semidirect
7. #2657	C₂	semidirect
8. #2610	C₂	semidirect
9. #2555	C₂	semidirect
10. #2433	C₂	semidirect
11. #2431	C₂	semidirect
12. #2403	C₂	semidirect
13. #2372	C₂	semidirect
14. C₂²×#41	C₂²	semidirect
16. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂×#127	C₂²	semidirect
22. C₂×#127	C₂²	semidirect
24. C₂×#124	C₂²	semidirect
25. C₂×#124	C₂²	semidirect
26. C₂×#124	C₂²	semidirect
27. C₂×#124	C₂²	semidirect
28. C₂×#124	C₂²	semidirect
29. C₂×#121	C₂²	semidirect
30. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×#121	C₂²	semidirect
34. C₂×#120	C₂²	semidirect
35. C₂×#120	C₂²	semidirect
36. C₂×#120	C₂²	semidirect
37. C₂×#120	C₂²	semidirect
38. C₂×#117	C₂²	semidirect
39. #395	C₂²	semidirect
40. #394	C₂²	semidirect
41. #394	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #393	C₂²	semidirect
46. #392	C₂²	semidirect
47. #392	C₂²	semidirect
48. #392	C₂²	semidirect
49. #392	C₂²	semidirect
50. #392	C₂²	semidirect
51. #392	C₂²	semidirect
52. #392	C₂²	semidirect
53. #391	C₂²	semidirect
54. #390	C₂²	semidirect
55. #390	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #388	C₂²	semidirect
58. #388	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #388	C₂²	semidirect
62. #386	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
64. #386	C₂²	semidirect
65. #379	C₂²	semidirect
66. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
67. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
68. #376	C₂²	semidirect
108. #124	D₄	semidirect
170. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
252. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
257. C₄²	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×H(3,𝔽₄)	2
C₂×#535	2
#2733	2
#2670	2
#2669	2
#2657	2
#2610	2
#2555	2
#2433	2
#2431	2
#2403	2
#2372	2