Subgroups — C₂²⋊C₄×#127 #519375

Order 512.

10134 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₄×#127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#14713	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#14025	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
7	#13902	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	6	yes	—
10	C₂²×#127	—	2	16	no	—
11	C₂²×#127	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
19	C₄×#127	—	2	16	no	—
20	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#386	C₂²	1	24	yes	complemented
24	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#379	C₂²	1	12	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
29	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#1438	C₂²	1	24	yes	complemented
31	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	complemented
32	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	complemented
33	C₂⁶	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×D₄	—	2	48	no	—
35	C₂³×D₄	—	2	24	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	24	no	—
37	C₂³×D₄	—	4	24	no	—
38	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
39	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
40	C₂³×D₄	C₂³	1	12	yes	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	8	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
44	C₂×#127	—	2	48	no	—
45	C₂×#127	—	2	128	no	—
46	C₂×#127	—	2	8	no	—
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×#127	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
50	C₂×#127	D₄	1	16	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	48	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	48	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	4	24	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#390	—	2	48	no	—
69	#390	—	2	48	no	—
70	#390	—	4	24	no	—
71	#386	—	2	96	no	—
72	#384	—	2	8	no	—
73	#380	—	2	24	no	—
74	#379	—	2	48	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	24	yes	complemented
77	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
80	C₄³	—	2	8	no	—
81	C₂⁵	—	2	16	no	—
82	C₂⁵	—	2	24	no	—
83	C₂⁵	—	2	24	no	—
84	C₂⁵	—	4	24	no	—
85	C₂⁵	C₂²×C₄	1	16	yes	—
86	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
87	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
88	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	192	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	192	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	96	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	192	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	192	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	48	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	48	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	48	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	24	no	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
116	C₂³×C₄	#41	1	12	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
122	#127	—	2	192	no	—
123	#127	—	2	32	no	—
124	#127	C₂²⋊C₄	1	64	yes	direct product factor
125	C₄×D₄	—	4	192	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
140	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
151	#95	—	2	24	no	—
152	#95	—	2	12	no	—
153	#95	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
154	C₂⁴	—	2	2	no	—
155	C₂⁴	—	2	6	no	—
156	C₂⁴	—	2	12	no	—
157	C₂⁴	—	2	12	no	—
158	C₂⁴	—	2	24	no	—
159	C₂⁴	—	2	32	no	—
160	C₂⁴	—	2	12	no	—
161	C₂⁴	—	2	8	no	—
162	C₂⁴	—	2	12	no	—
163	C₂⁴	—	2	24	no	—
164	C₂⁴	—	2	96	no	—
165	C₂⁴	—	4	48	no	—
166	C₂⁴	—	4	96	no	—
167	C₂⁴	—	4	96	no	—
168	C₂⁴	—	4	16	no	—
169	C₂⁴	—	4	48	no	—
170	C₂⁴	—	8	48	no	—
171	C₂⁴	—	8	48	no	—
172	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
173	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
174	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂²×D₄	1	16	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
177	C₂⁴	C₂×#41	1	6	yes	—
178	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₄	—	2	96	no	—
180	C₂×D₄	—	2	48	no	—
181	C₂×D₄	—	2	48	no	—
182	C₂×D₄	—	2	96	no	—
183	C₂×D₄	—	2	48	no	—
184	C₂×D₄	—	2	48	no	—
185	C₂×D₄	—	2	48	no	—
186	C₂×D₄	—	2	96	no	—
187	C₂×D₄	—	2	96	no	—
188	C₂×D₄	—	4	768	no	—
189	C₂×D₄	—	4	48	no	—
190	C₂×D₄	—	4	96	no	—
191	C₂×D₄	—	4	96	no	—
192	C₂×D₄	—	4	48	no	—
193	C₂×D₄	—	4	48	no	—
194	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	96	yes	complemented
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	48	no	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	48	yes	complemented
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
223	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	12	yes	—
224	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	96	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	48	no	—
230	C₂²⋊C₄	#127	1	16	yes	direct product factor
231	C₄²	—	2	24	no	—
232	C₄²	—	2	48	no	—
233	C₄²	—	4	24	no	—
234	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	6	no	—
237	C₂³	—	2	12	no	—
238	C₂³	—	2	12	no	—
239	C₂³	—	2	12	no	—
240	C₂³	—	2	12	no	—
241	C₂³	—	2	24	no	—
242	C₂³	—	2	24	no	—
243	C₂³	—	2	48	no	—
244	C₂³	—	2	48	no	—
245	C₂³	—	2	8	no	—
246	C₂³	—	2	24	no	—
247	C₂³	—	2	24	no	—
248	C₂³	—	4	192	no	—
249	C₂³	—	4	4	no	—
250	C₂³	—	4	12	no	—
251	C₂³	—	4	24	no	—
252	C₂³	—	4	24	no	—
253	C₂³	—	4	64	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	12	no	—
256	C₂³	—	4	24	no	—
257	C₂³	—	4	24	no	—
258	C₂³	—	4	24	no	—
259	C₂³	—	4	24	no	—
260	C₂³	—	8	96	no	—
261	C₂³	—	8	64	no	—
262	C₂³	—	8	192	no	—
263	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
264	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
265	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
266	C₂³	#532	1	12	yes	—
267	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
270	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
271	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
272	D₄	—	2	192	no	—
273	D₄	—	4	192	no	—
274	D₄	—	4	96	no	—
275	C₂×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂×C₄	—	2	12	no	—
278	C₂×C₄	—	2	12	no	—
279	C₂×C₄	—	2	12	no	—
280	C₂×C₄	—	2	12	no	—
281	C₂×C₄	—	2	96	no	—
282	C₂×C₄	—	2	12	no	—
283	C₂×C₄	—	2	12	no	—
284	C₂×C₄	—	2	12	no	—
285	C₂×C₄	—	4	12	no	—
286	C₂×C₄	—	4	12	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	24	no	—
289	C₂×C₄	—	4	24	no	—
290	C₂×C₄	—	8	64	no	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	12	yes	—
294	C₂×C₄	#518	1	12	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#127	1	8	yes	complemented
296	C₂×C₄	D₄²	1	24	yes	—
297	C₂×C₄	#546	1	24	yes	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	2	24	no	—
300	C₂²	—	2	12	no	—
301	C₂²	—	2	12	no	—
302	C₂²	—	2	48	no	—
303	C₂²	—	4	16	no	—
304	C₂²	—	4	48	no	—
305	C₂²	—	4	24	no	—
306	C₂²	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	24	no	—
308	C₂²	—	4	24	no	—
309	C₂²	—	4	8	no	—
310	C₂²	—	8	128	no	—
311	C₂²	—	8	8	no	—
312	C₂²	—	8	24	no	—
313	C₂²	C₄×#127	1	8	yes	complemented
314	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	3	yes	—
316	C₂²	C₂×#518	1	3	yes	—
317	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
319	C₂²	C₂×D₄²	1	6	yes	—
320	C₂²	C₂×#546	1	6	yes	—
321	C₂²	#3498	1	6	yes	—
322	C₂²	#3508	1	6	yes	—
323	C₄	—	2	8	no	—
324	C₄	—	2	12	no	—
325	C₄	—	4	12	no	—
326	C₄	—	8	8	no	—
327	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	24	yes	complemented
328	C₂	—	2	8	no	—
329	C₂	—	4	16	no	—
330	C₂	—	8	8	no	—
331	C₂	C₂×C₄×#127	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×D₄×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
333	C₂	#34210	1	3	yes	—
334	C₂	D₄×#127	1	2	yes	—
335	C₂	#36121	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×#127	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#127	C₂	semidirect
4. #14713	C₂	semidirect
5. #14686	C₂	semidirect
6. #14025	C₂	semidirect
7. #13902	C₂	semidirect
8. C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₂²×#127	C₄	semidirect
15. C₂²×C₄×D₄	C₂²	semidirect
20. C₂×#390	C₂²	semidirect
21. C₂×#390	C₂²	semidirect
22. C₂×#390	C₂²	semidirect
23. C₂×#386	C₂²	semidirect
24. C₂×#384	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄³	C₂²	semidirect
30. #1438	C₂²	semidirect
31. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
32. C₄×#95	C₂²	semidirect
38. C₂³×D₄	C₂×C₄	semidirect
48. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
49. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
63. C₂²×C₄²	C₂×C₄	semidirect
76. C₄×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
124. #127	C₂²⋊C₄	direct (N × H)
150. C₂×C₄²	C₂×D₄	semidirect
153. #95	C₂×D₄	semidirect
194. C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
213. C₂²×C₄	C₄×D₄	semidirect
230. C₂²⋊C₄	#127	direct (N × H)
234. C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect
295. C₂×C₄	C₂×#127	semidirect
313. C₂²	C₄×#127	semidirect
327. C₄	D₄×C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#127	2
C₂×D₄×C₂²⋊C₄	2
C₂×C₄×#127	2
#14713	2
#14686	2
#14025	2
#13902	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2

Subgroups — C22⋊C4×#127 #519375

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²⋊C₄×#127 #519375