Subgroups — #52004

Order 256.

1767 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2688	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2668	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2598	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2410	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2404	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2403	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2403	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
18	D₄²	—	2	8	no	—
19	#535	—	2	8	no	—
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#392	C₂²	1	2	yes	—
46	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#41	—	2	4	no	—
73	C₂×#41	—	4	2	no	—
74	C₂×#41	—	4	2	no	—
75	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
81	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
82	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
83	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	#127	—	2	4	no	—
103	#127	D₄	1	8	yes	complemented
104	#124	—	2	4	no	—
105	#124	—	2	4	no	—
106	#121	—	2	16	no	—
107	#121	—	2	16	no	—
108	#121	—	4	8	no	—
109	#120	—	2	8	no	—
110	#120	—	2	16	no	—
111	#120	—	2	8	no	—
112	#120	—	4	4	no	—
113	#120	—	4	8	no	—
114	#120	—	4	4	no	—
115	#120	—	4	8	no	—
116	C₄×D₄	—	2	8	no	—
117	#117	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	#95	C₂³	1	2	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	4	no	—
152	C₂⁴	—	2	8	no	—
153	C₂⁴	—	2	8	no	—
154	C₂⁴	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	—	4	4	no	—
161	C₂⁴	—	4	4	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	—	4	4	no	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
170	#41	—	4	16	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	1	no	—
192	C₂×D₄	—	4	1	no	—
193	C₂×D₄	—	4	1	no	—
194	C₂×D₄	—	4	1	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	1	no	—
203	C₂×D₄	—	4	1	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	16	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	64	no	—
211	C₂×D₄	—	4	32	no	—
212	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
214	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	16	no	—
283	C₂³	—	4	16	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	8	4	no	—
288	C₂³	—	8	4	no	—
289	C₂³	—	8	8	no	—
290	C₂³	—	8	8	no	—
291	C₂³	—	8	4	no	—
292	C₂³	—	8	8	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	8	8	no	—
296	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
298	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
299	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
300	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	D₄	—	2	16	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	16	no	—
305	D₄	—	4	4	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	16	no	—
309	D₄	—	4	16	no	—
310	D₄	—	4	16	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	D₄	—	4	16	no	—
313	D₄	—	8	8	no	—
314	D₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	8	16	no	—
369	C₂²	—	8	16	no	—
370	C₂²	—	8	16	no	—
371	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
374	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₂	—	4	4	no	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	4	8	no	—
386	C₂	—	4	4	no	—
387	C₂	—	8	2	no	—
388	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#3484	1	2	yes	—
390	C₂	#3532	1	2	yes	—
391	C₂	#3537	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄²	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. #2688	C₂	semidirect
4. #2684	C₂	semidirect
5. #2669	C₂	semidirect
6. #2668	C₂	semidirect
7. #2631	C₂	semidirect
8. #2598	C₂	semidirect
9. #2410	C₂	semidirect
10. #2404	C₂	semidirect
11. #2403	C₂	semidirect
12. #2403	C₂	semidirect
13. #2380	C₂	semidirect
14. C₂²×#41	C₂²	semidirect
15. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
16. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
17. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂×#127	C₂²	semidirect
22. C₂×#124	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
25. C₂×#121	C₂²	semidirect
26. C₂×#121	C₂²	semidirect
28. C₂×#120	C₂²	semidirect
29. C₂×#120	C₂²	semidirect
30. C₂×#120	C₂²	semidirect
31. C₂×#120	C₂²	semidirect
32. C₂×#120	C₂²	semidirect
33. C₂×#120	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
35. C₂×#117	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
37. #400	C₂²	semidirect
38. #399	C₂²	semidirect
39. #397	C₂²	semidirect
40. #397	C₂²	semidirect
41. #394	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #394	C₂²	semidirect
44. #393	C₂²	semidirect
46. #392	C₂²	semidirect
47. #392	C₂²	semidirect
48. #392	C₂²	semidirect
49. #392	C₂²	semidirect
50. #392	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #386	C₂²	semidirect
53. #386	C₂²	semidirect
54. #386	C₂²	semidirect
55. #386	C₂²	semidirect
56. #386	C₂²	semidirect
57. #386	C₂²	semidirect
58. #386	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
61. #386	C₂²	semidirect
62. #386	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
64. #385	C₂²	semidirect
65. #383	C₂²	semidirect
66. #381	C₂²	semidirect
67. #379	C₂²	semidirect
68. #379	C₂²	semidirect
103. #127	D₄	semidirect
213. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
214. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
258. C₄²	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄²	2
C₂×#535	2
#2688	2
#2684	2
#2669	2
#2668	2
#2631	2
#2598	2
#2410	2
#2404	2
#2403	2
#2380	2