Subgroups — #520471

Order 512.

5546 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2351	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2341	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14682	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#13951	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#13941	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#13920	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	Q₈×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#380	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	—	2	16	no	—
12	C₂×C₄×#41	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
20	#2351	—	2	16	no	—
21	#2341	—	2	16	no	—
22	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
23	C₂×#389	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂×#382	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
29	#1439	C₂²	1	24	yes	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
33	#1434	C₂²	1	3	yes	—
34	#1434	C₂²	1	6	yes	—
35	#1434	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
37	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
38	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
39	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	—
40	C₂²×#41	—	2	8	no	—
41	C₂²×#41	—	2	8	no	—
42	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×#41	D₄	1	8	yes	—
44	C₂²×#41	Q₈	1	8	yes	—
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
50	C₄×#41	—	2	128	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	16	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
62	C₂×#117	—	2	24	no	—
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	24	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	24	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
78	#390	—	2	48	no	—
79	#389	—	2	48	no	—
80	#382	—	2	24	no	—
81	#380	—	2	24	no	—
82	#380	—	2	24	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
85	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂⁵	C₂⁴	1	3	yes	—
95	C₂×#41	—	2	32	no	—
96	C₂×#41	—	2	32	no	—
97	C₂×#41	—	2	64	no	—
98	C₂×#41	—	2	64	no	—
99	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
100	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
102	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
109	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
115	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
131	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
132	C₄×Q₈	—	4	64	no	—
133	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
134	C₄×D₄	—	2	96	no	—
135	C₄×D₄	—	2	96	no	—
136	#117	—	2	96	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
155	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
167	#95	—	2	4	no	—
168	#95	—	2	12	no	—
169	#95	—	2	4	no	—
170	#95	—	2	12	no	—
171	#95	—	2	24	no	—
172	#95	—	2	12	no	—
173	#95	—	4	12	no	—
174	#95	—	4	12	no	—
175	#95	#41	1	8	yes	complemented
176	C₂⁴	—	2	6	no	—
177	C₂⁴	—	2	6	no	—
178	C₂⁴	—	2	6	no	—
179	C₂⁴	—	2	6	no	—
180	C₂⁴	—	2	6	no	—
181	C₂⁴	—	2	6	no	—
182	C₂⁴	C₂³×C₄	1	6	yes	—
183	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
184	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
185	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	2	256	no	—
187	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
188	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
189	C₂×Q₈	#117	1	16	yes	—
190	C₂×Q₈	#121	1	32	yes	—
191	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
192	C₂×D₄	—	2	24	no	—
193	C₂×D₄	—	2	24	no	—
194	C₂×D₄	—	2	48	no	—
195	C₂×D₄	—	2	48	no	—
196	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
253	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	24	no	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	2	24	no	—
259	C₄²	—	2	24	no	—
260	C₄²	—	4	48	no	—
261	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
262	C₂³	—	2	6	no	—
263	C₂³	—	2	6	no	—
264	C₂³	—	2	6	no	—
265	C₂³	—	2	6	no	—
266	C₂³	—	2	6	no	—
267	C₂³	—	2	6	no	—
268	C₂³	—	2	12	no	—
269	C₂³	—	2	12	no	—
270	C₂³	—	2	12	no	—
271	C₂³	—	2	12	no	—
272	C₂³	—	2	12	no	—
273	C₂³	—	2	12	no	—
274	C₂³	—	4	12	no	—
275	C₂³	—	4	12	no	—
276	C₂³	—	4	12	no	—
277	C₂³	—	4	12	no	—
278	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
279	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
285	C₂³	#585	1	2	yes	—
286	C₂³	#585	1	2	yes	—
287	C₂³	#585	1	2	yes	—
288	Q₈	#380	1	64	yes	complemented
289	D₄	—	2	96	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	6	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	6	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	24	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	96	no	—
304	C₂×C₄	—	2	6	no	—
305	C₂×C₄	—	2	6	no	—
306	C₂×C₄	—	2	6	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	48	no	—
311	C₂×C₄	—	4	48	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	12	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	12	no	—
318	C₂×C₄	—	4	12	no	—
319	C₂×C₄	—	4	12	no	—
320	C₂×C₄	—	4	12	no	—
321	C₂×C₄	—	4	12	no	—
322	C₂×C₄	—	4	12	no	—
323	C₂×C₄	—	4	12	no	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#117	1	12	yes	—
330	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#121	1	24	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
333	C₂²	—	2	12	no	—
334	C₂²	—	2	12	no	—
335	C₂²	—	2	12	no	—
336	C₂²	—	4	6	no	—
337	C₂²	—	4	6	no	—
338	C₂²	—	4	24	no	—
339	C₂²	—	4	24	no	—
340	C₂²	—	4	6	no	—
341	C₂²	—	4	6	no	—
342	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×#121	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
351	C₂²	D₄×#41	1	4	yes	—
352	C₂²	D₄×#41	1	2	yes	—
353	C₂²	Q₈×#41	1	2	yes	—
354	C₂²	#3480	1	4	yes	—
355	C₂²	#3487	1	4	yes	—
356	C₂²	#3500	1	2	yes	—
357	C₂²	#3504	1	2	yes	—
358	C₂²	#3524	1	4	yes	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	12	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	8	no	—
364	C₄	—	4	6	no	—
365	C₄	—	8	12	no	—
366	C₄	C₂×#380	1	24	yes	—
367	C₂	—	4	12	no	—
368	C₂	C₂²×#380	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂²⋊C₄×#41	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₄⋊C₄×#41	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#34125	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#34174	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#34184	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#34197	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#36430	1	4	yes	—
376	C₂	#36431	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2351	C₂	semidirect
4. #14682	C₂	semidirect
5. #13951	C₂	semidirect
6. #13941	C₂	semidirect
7. #13920	C₂	semidirect
8. Q₈×#95	C₂	semidirect
9. C₄×#380	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×#41	C₄	semidirect
99. C₂×#41	C₄⋊C₄	semidirect
133. C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
175. #95	#41	semidirect
288. Q₈	#380	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×#2351	2
C₂×#2341	2
#14682	2
#13951	2
#13941	2
#13920	2
Q₈×#95	2
C₄×#380	2