Subgroups — #520478

Order 512.

5226 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2341	C₂	1	2	yes	maximal
3	#14685	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#13939	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#13916	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#13916	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	Q₈×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	Q₈×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#381	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	—	2	16	no	—
12	C₂×C₄×#41	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#117	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
20	#2341	—	2	16	no	—
21	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×#381	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#381	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
26	#1440	C₂²	1	24	yes	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
31	#1434	C₂²	1	3	yes	—
32	#1434	C₂²	1	6	yes	—
33	#1434	C₂²	1	6	yes	—
34	#1434	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
36	C₂²⋊#95	C₂²	1	6	yes	—
37	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	6	yes	—
39	C₂²×#41	—	2	8	no	—
40	C₂²×#41	—	2	8	no	—
41	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂²×#41	D₄	1	16	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
48	C₄×#41	—	2	128	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
60	C₂×#117	—	2	24	no	—
61	C₂×#117	C₂×C₄	1	24	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂²×C₄²	—	2	24	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	24	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
75	#390	—	2	48	no	—
76	#381	—	2	24	no	—
77	#381	—	4	12	no	—
78	#380	—	2	24	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
80	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
84	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂⁵	C₂⁴	1	3	yes	—
91	C₂×#41	—	2	32	no	—
92	C₂×#41	—	2	32	no	—
93	C₂×#41	—	2	128	no	—
94	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
97	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
98	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
99	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
101	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
102	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
103	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
124	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
126	C₄×Q₈	—	4	64	no	—
127	C₄×D₄	—	2	96	no	—
128	C₄×D₄	—	2	96	no	—
129	#117	—	2	96	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
145	C₂×C₄²	—	2	96	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	#95	—	2	4	no	—
158	#95	—	2	12	no	—
159	#95	—	2	24	no	—
160	#95	—	2	12	no	—
161	#95	—	2	12	no	—
162	#95	—	2	4	no	—
163	#95	—	4	12	no	—
164	#95	—	4	12	no	—
165	#95	—	4	12	no	—
166	#95	#41	1	8	yes	complemented
167	C₂⁴	—	2	6	no	—
168	C₂⁴	—	2	6	no	—
169	C₂⁴	—	2	6	no	—
170	C₂⁴	—	2	3	no	—
171	C₂⁴	—	2	3	no	—
172	C₂⁴	—	2	6	no	—
173	C₂⁴	—	2	6	no	—
174	C₂⁴	C₂³×C₄	1	6	yes	—
175	C₂⁴	C₂²×D₄	1	12	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
177	#41	—	2	256	no	—
178	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
179	C₂×Q₈	#117	1	16	yes	—
180	C₂×Q₈	#117	1	16	yes	—
181	C₂×Q₈	#123	1	64	yes	—
182	C₂×D₄	—	2	24	no	—
183	C₂×D₄	—	2	24	no	—
184	C₂×D₄	—	2	96	no	—
185	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	12	yes	—
237	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	8	24	no	—
245	C₄²	—	2	8	no	—
246	C₄²	—	2	24	no	—
247	C₄²	—	2	24	no	—
248	C₄²	—	2	24	no	—
249	C₄²	—	4	48	no	—
250	C₂³	—	2	6	no	—
251	C₂³	—	2	6	no	—
252	C₂³	—	2	6	no	—
253	C₂³	—	2	6	no	—
254	C₂³	—	2	6	no	—
255	C₂³	—	2	6	no	—
256	C₂³	—	2	24	no	—
257	C₂³	—	2	24	no	—
258	C₂³	—	2	12	no	—
259	C₂³	—	2	12	no	—
260	C₂³	—	4	12	no	—
261	C₂³	—	4	6	no	—
262	C₂³	—	4	6	no	—
263	C₂³	—	4	6	no	—
264	C₂³	—	4	6	no	—
265	C₂³	—	4	12	no	—
266	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
267	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#585	1	2	yes	—
275	C₂³	#585	1	2	yes	—
276	Q₈	#381	1	64	yes	complemented
277	D₄	—	2	96	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	96	no	—
289	C₂×C₄	—	2	6	no	—
290	C₂×C₄	—	2	6	no	—
291	C₂×C₄	—	2	6	no	—
292	C₂×C₄	—	2	6	no	—
293	C₂×C₄	—	2	6	no	—
294	C₂×C₄	—	2	6	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	48	no	—
299	C₂×C₄	—	4	48	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	12	no	—
302	C₂×C₄	—	4	6	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	6	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	12	no	—
308	C₂×C₄	—	4	12	no	—
309	C₂×C₄	—	4	12	no	—
310	C₂×C₄	—	4	12	no	—
311	C₂×C₄	—	4	12	no	—
312	C₂×C₄	—	4	12	no	—
313	C₂×C₄	—	4	12	no	—
314	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#117	1	12	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	12	yes	—
318	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#123	1	48	yes	—
321	C₂²	—	2	12	no	—
322	C₂²	—	2	12	no	—
323	C₂²	—	2	12	no	—
324	C₂²	—	4	6	no	—
325	C₂²	—	4	24	no	—
326	C₂²	—	4	6	no	—
327	C₂²	—	4	24	no	—
328	C₂²	—	4	6	no	—
329	C₂²	—	4	6	no	—
330	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#520	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂²×#123	1	4	yes	—
338	C₂²	D₄×#41	1	4	yes	—
339	C₂²	#3480	1	4	yes	—
340	C₂²	#3482	1	2	yes	—
341	C₂²	#3483	1	2	yes	—
342	C₂²	#3488	1	2	yes	—
343	C₂²	#3489	1	2	yes	—
344	C₂²	#3517	1	2	yes	—
345	C₂²	#3518	1	2	yes	—
346	C₂²	#3524	1	4	yes	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	4	6	no	—
351	C₄	—	4	8	no	—
352	C₄	—	4	6	no	—
353	C₄	—	8	12	no	—
354	C₄	C₂×#381	1	24	yes	—
355	C₂	—	4	12	no	—
356	C₂	C₂²×#381	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂²⋊C₄×#41	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#34125	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#34129	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#34175	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#34193	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#34197	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#36432	1	4	yes	—
364	C₂	#36433	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #14685	C₂	semidirect
4. #13939	C₂	semidirect
5. #13916	C₂	semidirect
6. #13916	C₂	semidirect
7. Q₈×#95	C₂	semidirect
8. Q₈×#95	C₂	semidirect
9. C₄×#381	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×#41	C₄	semidirect
166. #95	#41	semidirect
276. Q₈	#381	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×#41	2
C₂×#2341	2
#14685	2
#13939	2
#13916	2
Q₈×#95	2
C₄×#381	2