Subgroups — #52054

Order 256.

1251 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#559	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2709	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2686	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2684	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2632	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2443	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2406	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2405	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#559	—	2	8	no	—
17	#535	—	2	8	no	—
18	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#397	C₂²	1	2	yes	—
37	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#394	C₂²	1	4	yes	—
42	#394	C₂²	1	4	yes	—
43	#394	C₂²	1	4	yes	—
44	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#393	C₂²	1	2	yes	—
47	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#388	C₂²	1	4	yes	—
49	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#386	C₂²	1	2	yes	—
54	#386	C₂²	1	2	yes	—
55	#386	C₂²	1	2	yes	—
56	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	4	yes	—
62	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#379	C₂²	1	4	yes	—
68	#379	C₂²	1	2	yes	—
69	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	4	2	no	—
72	C₂×#41	—	4	2	no	—
73	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	#127	—	2	4	no	—
92	#127	D₄	1	8	yes	—
93	#124	—	2	4	no	—
94	#124	—	2	16	no	—
95	#124	—	2	4	no	—
96	#123	—	2	8	no	—
97	#123	—	2	8	no	—
98	#123	—	4	4	no	—
99	#123	—	4	4	no	—
100	#121	—	2	16	no	—
101	#120	—	2	16	no	—
102	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₄×D₄	—	2	16	no	—
104	#117	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	4	yes	—
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	2	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂⁴	—	2	4	no	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	4	2	no	—
147	C₂⁴	—	4	4	no	—
148	C₂⁴	—	4	4	no	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	#41	—	4	16	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	2	4	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	4	1	no	—
167	C₂×D₄	—	4	1	no	—
168	C₂×D₄	—	4	1	no	—
169	C₂×D₄	—	4	1	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	1	no	—
173	C₂×D₄	—	4	1	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	16	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
179	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	8	no	—
232	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₂³	—	2	1	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	4	8	no	—
250	C₂³	—	4	8	no	—
251	C₂³	—	8	8	no	—
252	C₂³	—	8	4	no	—
253	C₂³	—	8	8	no	—
254	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
257	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	4	8	no	—
259	Q₈	—	4	4	no	—
260	D₄	—	4	4	no	—
261	D₄	—	4	16	no	—
262	D₄	—	4	4	no	—
263	D₄	—	4	8	no	—
264	D₄	—	4	4	no	—
265	D₄	—	4	8	no	—
266	D₄	—	8	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²	—	2	2	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	8	no	—
302	C₂²	—	2	8	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	8	16	no	—
318	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#585	1	4	yes	—
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₂	—	4	4	no	—
332	C₂	—	4	4	no	—
333	C₂	—	4	2	no	—
334	C₂	—	8	2	no	—
335	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#3485	1	2	yes	—
337	C₂	#3533	1	2	yes	—
338	C₂	#3540	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#559	C₂	semidirect
3. #2717	C₂	semidirect
4. #2709	C₂	semidirect
5. #2686	C₂	semidirect
6. #2684	C₂	semidirect
7. #2632	C₂	semidirect
8. #2599	C₂	semidirect
9. #2443	C₂	semidirect
10. #2418	C₂	semidirect
11. #2406	C₂	semidirect
12. #2405	C₂	semidirect
13. #2380	C₂	semidirect
22. C₂×#124	C₂²	semidirect
26. C₂×#123	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. #399	C₂²	semidirect
35. #398	C₂²	semidirect
37. #397	C₂²	semidirect
38. #397	C₂²	semidirect
39. #395	C₂²	semidirect
40. #395	C₂²	semidirect
44. #394	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
47. #393	C₂²	semidirect
49. #388	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #387	C₂²	semidirect
52. #387	C₂²	semidirect
56. #386	C₂²	semidirect
57. #386	C₂²	semidirect
58. #386	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
62. #385	C₂²	semidirect
63. #385	C₂²	semidirect
64. #383	C₂²	semidirect
65. #381	C₂²	semidirect
66. #380	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#559	2
C₂×#535	2
#2717	2
#2709	2
#2686	2
#2684	2
#2632	2
#2599	2
#2443	2
#2418	2
#2406	2
#2405	2
#2380	2