Subgroups — #52103

Order 256.

1678 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#2683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2681	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2679	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2678	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2392	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2388	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#525	—	2	32	no	—
18	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#394	C₂²	1	2	yes	—
40	#394	C₂²	1	4	yes	—
41	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#392	C₂²	1	2	yes	—
46	#392	C₂²	1	4	yes	—
47	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#386	C₂²	1	2	yes	—
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
67	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#41	—	2	16	no	—
70	C₂×#41	—	4	4	no	—
71	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
81	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	#127	—	2	4	no	—
88	#123	—	2	16	no	—
89	#123	—	2	16	no	—
90	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
91	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
92	#121	—	2	16	no	—
93	#121	—	2	16	no	—
94	#120	—	2	16	no	—
95	#120	—	2	8	no	—
96	#120	—	2	16	no	—
97	C₄×D₄	—	2	16	no	—
98	C₄×D₄	—	2	16	no	—
99	C₄×D₄	—	2	16	no	—
100	C₄×D₄	—	4	2	no	—
101	C₄×D₄	—	4	2	no	—
102	C₄×D₄	D₄	1	16	yes	complemented
103	#117	—	2	16	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	#95	C₂³	1	4	yes	—
137	#95	C₂³	1	4	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	2	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂⁴	—	2	8	no	—
143	C₂⁴	—	2	4	no	—
144	C₂⁴	—	4	2	no	—
145	C₂⁴	—	4	4	no	—
146	C₂⁴	—	4	2	no	—
147	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
150	#41	—	4	32	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
153	C₂×D₄	—	2	8	no	—
154	C₂×D₄	—	2	8	no	—
155	C₂×D₄	—	2	8	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	1	no	—
163	C₂×D₄	—	4	1	no	—
164	C₂×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂×D₄	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	4	1	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	1	no	—
169	C₂×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂×D₄	#41	1	4	yes	complemented
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
208	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
225	C₄²	—	2	8	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	2	2	no	—
228	C₄²	—	4	1	no	—
229	C₄²	—	4	2	no	—
230	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	4	8	no	—
247	C₂³	—	4	16	no	—
248	C₂³	—	4	16	no	—
249	C₂³	—	4	8	no	—
250	C₂³	—	4	8	no	—
251	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
252	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	4	8	no	—
255	D₄	—	4	8	no	—
256	D₄	—	4	4	no	—
257	D₄	—	4	16	no	—
258	D₄	—	4	16	no	—
259	D₄	—	4	4	no	—
260	D₄	—	4	16	no	—
261	D₄	—	4	8	no	—
262	D₄	—	4	16	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	32	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	16	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂²	—	2	8	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	8	no	—
297	C₂²	—	2	8	no	—
298	C₂²	—	2	8	no	—
299	C₂²	—	4	32	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	4	4	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#585	1	2	yes	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	8	no	—
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	1	no	—
326	C₄	D₄²	1	4	yes	—
327	C₂	—	4	8	no	—
328	C₂	—	4	4	no	—
329	C₂	—	8	2	no	—
330	C₂	#3449	1	2	yes	—
331	C₂	#3459	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
333	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
334	C₂	#3529	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#525	C₂	semidirect
2. #2683	C₂	semidirect
3. #2682	C₂	semidirect
4. #2681	C₂	semidirect
5. #2680	C₂	semidirect
6. #2679	C₂	semidirect
7. #2678	C₂	semidirect
8. #2669	C₂	semidirect
9. #2392	C₂	semidirect
10. #2388	C₂	semidirect
11. C₄×#127	C₂	semidirect
12. C₄×#120	C₂	semidirect
13. #2293	C₂	semidirect
15. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
19. C₂×#123	C₂²	semidirect
20. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×#120	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
33. C₂×#117	C₂²	semidirect
34. #398	C₂²	semidirect
35. #397	C₂²	semidirect
36. #396	C₂²	semidirect
37. #396	C₂²	semidirect
38. #395	C₂²	semidirect
41. #394	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #394	C₂²	semidirect
44. #393	C₂²	semidirect
47. #392	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #390	C₂²	semidirect
53. #389	C₂²	semidirect
54. #389	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
56. #388	C₂²	semidirect
59. #385	C₂²	semidirect
60. #385	C₂²	semidirect
61. #384	C₂²	semidirect
62. #379	C₂²	semidirect
63. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
66. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
67. C₄³	C₂²	semidirect
102. C₄×D₄	D₄	semidirect
175. C₂×D₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
#2683	2
#2682	2
#2681	2
#2680	2
#2679	2
#2678	2
#2669	2
#2392	2
#2388	2
C₄×#127	2
C₄×#120	2
#2293	2