Subgroups — C₂×#2720 #52143

Order 256.

1307 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2720	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#400	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#399	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#398	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#389	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#388	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#388	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#387	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
15	C₂×#385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#125	—	2	8	no	—
20	C₂×#125	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#400	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#399	C₂²	1	8	yes	—
48	#398	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#396	C₂²	1	8	yes	—
50	#395	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#395	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	8	yes	—
54	#388	C₂²	1	8	yes	—
55	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#385	C₂²	1	8	yes	—
57	#385	C₂²	1	8	yes	—
58	#384	C₂²	1	8	yes	complemented
59	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
72	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
73	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
76	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	#125	—	2	32	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	1	8	yes	complemented
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂⁴	—	2	2	no	—
151	C₂⁴	—	2	2	no	—
152	C₂⁴	—	2	2	no	—
153	C₂⁴	—	2	2	no	—
154	C₂⁴	—	2	2	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
157	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
244	C₄²	—	2	8	no	—
245	C₄²	—	2	8	no	—
246	C₂³	—	2	8	no	—
247	C₂³	—	2	8	no	—
248	C₂³	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
264	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
265	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
266	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
268	Q₈	—	4	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	16	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	16	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	#535	1	4	yes	—
335	C₂²	#539	1	4	yes	—
336	C₂²	#544	1	4	yes	—
337	C₂²	#547	1	4	yes	—
338	C₂²	D₄×Q₈	1	4	yes	—
339	C₂²	#554	1	4	yes	—
340	C₂²	#563	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₂	—	4	4	no	—
363	C₂	#2720	1	8	yes	direct product factor
364	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₂×#539	1	1	yes	characteristic
366	C₂	C₂×#544	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
368	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂×#554	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂×#563	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#125	C₂	semidirect
3. #2720	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#400	C₂	semidirect
6. C₂×#398	C₂	semidirect
8. C₂×#395	C₂	semidirect
9. C₂×#395	C₂	semidirect
10. C₂×#389	C₂	semidirect
13. C₂×#387	C₂	semidirect
16. C₂×#384	C₂	semidirect
20. C₂×#125	C₂²	semidirect
46. #400	C₂²	semidirect
48. #398	C₂²	semidirect
50. #395	C₂²	semidirect
51. #395	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
55. #387	C₂²	semidirect
58. #384	C₂²	semidirect
129. C₂×C₂²⋊C₄	Q₈	semidirect
243. C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
363. C₂	#2720	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#125	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
#2720	2
C₂×#400	2
C₂×#399	2
C₂×#398	2
C₂×#396	2
C₂×#395	2
C₂×#389	2
C₂×#388	2
C₂×#387	2
C₂×#385	2
C₂×#384	2

Subgroups — C2×#2720 #52143

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#2720 #52143