Subgroups — #52990

Order 256.

1003 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2840	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2832	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2712	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2684	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2640	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
15	#2398	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#397	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#397	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	4	yes	—
36	#394	C₂²	1	2	yes	—
37	#394	C₂²	1	4	yes	—
38	#394	C₂²	1	2	yes	—
39	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#393	C₂²	1	2	yes	—
42	#393	C₂²	1	4	yes	—
43	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	2	yes	—
51	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#390	C₂²	1	2	yes	—
56	#390	C₂²	1	2	yes	—
57	#390	C₂²	1	2	yes	—
58	#388	C₂²	1	4	yes	—
59	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#379	C₂²	1	2	yes	—
69	#379	C₂²	1	4	yes	—
70	#379	C₂²	1	4	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
77	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
83	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
92	#124	—	4	4	no	—
93	#124	—	4	4	no	—
94	#124	—	4	8	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
96	#121	—	4	4	no	—
97	#120	—	4	4	no	—
98	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
99	C₄×D₄	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	#95	C₂³	1	2	yes	—
133	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#95	C₂³	1	2	yes	—
135	#95	C₂³	1	2	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	2	yes	—
138	#95	C₂³	1	4	yes	—
139	#95	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	2	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	4	4	no	—
149	C₂⁴	—	4	2	no	—
150	C₂⁴	—	4	2	no	—
151	C₂⁴	—	4	4	no	—
152	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	2	2	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	1	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	16	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	4	4	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	1	no	—
229	C₂³	—	2	1	no	—
230	C₂³	—	2	1	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	1	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	4	8	no	—
243	C₂³	—	8	4	no	—
244	C₂³	—	8	8	no	—
245	C₂³	—	8	4	no	—
246	C₂³	—	8	8	no	—
247	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
248	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
249	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
250	Q₈	—	4	4	no	—
251	Q₈	—	4	8	no	—
252	Q₈	—	4	8	no	—
253	Q₈	—	8	8	no	—
254	D₄	—	4	4	no	—
255	D₄	—	4	8	no	—
256	D₄	—	4	8	no	—
257	D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	4	no	—
297	C₂²	—	4	1	no	—
298	C₂²	—	4	1	no	—
299	C₂²	—	4	1	no	—
300	C₂²	—	4	1	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	8	16	no	—
311	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#585	1	2	yes	—
316	C₄	—	4	1	no	—
317	C₄	—	4	1	no	—
318	C₄	—	4	4	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	—	4	1	no	—
321	C₄	—	4	1	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	—
328	C₂	—	4	2	no	—
329	C₂	—	4	2	no	—
330	C₂	—	8	4	no	—
331	C₂	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#3536	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#3540	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#3558	1	2	yes	—
335	C₂	#3561	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2408	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2840	C₂	semidirect
2. #2832	C₂	semidirect
3. #2824	C₂	semidirect
4. #2736	C₂	semidirect
5. #2712	C₂	semidirect
6. #2684	C₂	semidirect
7. #2640	C₂	semidirect
8. #2592	C₂	semidirect
9. #2492	C₂	semidirect
10. #2491	C₂	semidirect
11. #2436	C₂	semidirect
12. #2435	C₂	semidirect
13. #2409	C₂	semidirect
15. #2398	C₂	semidirect
16. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×#124	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. #400	C₂²	semidirect
28. #400	C₂²	semidirect
30. #397	C₂²	semidirect
31. #397	C₂²	semidirect
32. #397	C₂²	semidirect
33. #397	C₂²	semidirect
34. #395	C₂²	semidirect
39. #394	C₂²	semidirect
43. #393	C₂²	semidirect
44. #393	C₂²	semidirect
45. #393	C₂²	semidirect
46. #393	C₂²	semidirect
47. #393	C₂²	semidirect
48. #393	C₂²	semidirect
49. #393	C₂²	semidirect
51. #391	C₂²	semidirect
52. #391	C₂²	semidirect
53. #391	C₂²	semidirect
54. #391	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #388	C₂²	semidirect
61. #388	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
64. #386	C₂²	semidirect
65. #385	C₂²	semidirect
67. #380	C₂²	semidirect
71. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
73. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
74. #376	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2840	2
#2832	2
#2824	2
#2736	2
#2712	2
#2684	2
#2640	2
#2592	2
#2492	2
#2491	2
#2436	2
#2435	2
#2409	2
#2408	2
#2398	2