Subgroups — #531864

Order 512.

4930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14450	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14161	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14053	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#13922	C₂	1	4	yes	maximal
7	#13907	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#380	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2369	—	2	16	no	—
20	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#389	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	#1446	C₂²	1	8	yes	—
31	#1446	C₂²	1	8	yes	—
32	#1441	C₂²	1	16	yes	—
33	#1436	C₂²	1	16	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
35	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
37	#1434	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
39	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
40	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
42	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
43	C₂³×Q₈	—	4	4	no	—
44	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
45	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#391	—	2	32	no	—
79	#391	—	4	16	no	—
80	#389	—	2	32	no	—
81	#380	—	2	8	no	—
82	#380	—	4	8	no	—
83	#380	Q₈	1	16	yes	complemented
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
88	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
115	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
144	C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	128	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	#95	—	2	32	no	—
181	#95	—	2	16	no	—
182	#95	—	2	16	no	—
183	#95	—	2	8	no	—
184	#95	—	2	16	no	—
185	#95	—	4	8	no	—
186	#95	—	4	8	no	—
187	#95	—	4	16	no	—
188	#95	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
189	C₂⁴	—	2	2	no	—
190	C₂⁴	—	2	2	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
194	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
195	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
196	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
198	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	256	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
213	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
256	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	32	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
278	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
281	C₄²	—	2	8	no	—
282	C₄²	—	2	16	no	—
283	C₄²	—	4	32	no	—
284	C₄²	—	8	16	no	—
285	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	2	8	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
298	C₂³	#518	1	4	yes	—
299	C₂³	#554	1	8	yes	—
300	C₂³	#555	1	4	yes	—
301	C₂³	Q₈²	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
304	C₂³	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
306	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
310	Q₈	—	4	32	no	—
311	Q₈	—	4	64	no	—
312	Q₈	—	4	32	no	—
313	C₂×C₄	—	2	32	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	16	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	64	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	16	no	—
335	C₂×C₄	—	2	16	no	—
336	C₂×C₄	—	2	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	64	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
356	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	#519	1	8	yes	—
358	C₂×C₄	#548	1	16	yes	—
359	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	16	yes	—
360	C₂²	—	2	16	no	—
361	C₂²	—	2	8	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	2	8	no	—
367	C₂²	#2369	1	8	yes	complemented
368	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
370	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#548	1	4	yes	—
374	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	4	yes	—
375	C₂²	C₂×#554	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#555	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#3484	1	2	yes	—
379	C₂²	#3484	1	2	yes	—
380	C₂²	#3503	1	4	yes	—
381	C₂²	#3511	1	4	yes	—
382	C₂²	#3544	1	2	yes	—
383	C₂²	#3544	1	2	yes	—
384	C₄	—	2	8	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	16	no	—
388	C₄	—	4	16	no	—
389	C₄	—	4	8	no	—
390	C₄	—	8	8	no	—
391	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
392	C₂	—	2	8	no	—
393	C₂	C₂×Q₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
394	C₂	C₂×#2369	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#34171	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#34216	1	2	yes	—
397	C₂	#34365	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#59135	1	2	yes	—
399	C₂	#59136	1	4	yes	—
400	C₂	#59151	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2369	C₂	semidirect
3. #14450	C₂	semidirect
4. #14161	C₂	semidirect
5. #14053	C₂	semidirect
12. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
83. #380	Q₈	semidirect
144. C₄⋊Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect
160. C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
188. #95	C₂×Q₈	semidirect
367. C₂²	#2369	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#2369	2
#14450	2
#14161	2
#14053	2
#13922	2
#13907	2
C₂²⋊C₄×C₄⋊C₄	2
C₄×#380	2