Subgroups — #531900

Order 512.

2854 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2369	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#14467	C₂	1	4	yes	maximal
4	#14151	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14045	C₂	1	8	yes	maximal
6	#13926	C₂	1	4	yes	maximal
7	#13910	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₄⋊C₄²	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#384	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	#2369	—	2	16	no	—
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#389	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#389	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1444	C₂²	1	16	yes	—
31	#1441	C₂²	1	8	yes	—
32	#1441	C₂²	1	8	yes	—
33	#1436	C₂²	1	16	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
35	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
36	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
38	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
39	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	#391	—	2	32	no	—
68	#391	C₂×C₄	1	16	yes	—
69	#389	—	2	32	no	—
70	#389	—	4	16	no	—
71	#389	C₂×C₄	1	32	yes	—
72	#384	—	2	8	no	—
73	#384	—	4	8	no	—
74	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#384	Q₈	1	16	yes	complemented
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
89	C₄³	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
94	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
107	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
167	#95	—	2	32	no	—
168	#95	—	2	16	no	—
169	#95	—	2	16	no	—
170	#95	—	4	8	no	—
171	#95	—	4	8	no	—
172	#95	—	4	16	no	—
173	#95	C₂²×C₄	1	32	yes	—
174	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
175	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
181	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
250	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	64	yes	—
251	C₄²	—	2	32	no	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	2	16	no	—
254	C₄²	—	4	4	no	—
255	C₄²	—	4	32	no	—
256	C₄²	—	8	16	no	—
257	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
258	C₄²	C₄×Q₈	1	32	yes	—
259	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
268	C₂³	#585	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#585	1	1	yes	characteristic
270	Q₈	—	4	32	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	16	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#520	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	#550	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	#555	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#557	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	Q₈²	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	Q₈²	1	4	yes	—
328	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂²×C₄×Q₈	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×#518	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#520	1	2	yes	—
332	C₂²	#3428	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×#550	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#554	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#555	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#557	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂×Q₈²	1	2	yes	—
339	C₂²	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#3501	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#3501	1	2	yes	—
344	C₂²	#3501	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3502	1	2	yes	—
346	C₂²	#3506	1	2	yes	—
347	C₂²	#3507	1	2	yes	—
348	C₂²	#3548	1	2	yes	—
349	C₂²	#3549	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3550	1	1	yes	characteristic
351	C₄	—	2	16	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	8	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	4	16	no	—
357	C₄	—	8	8	no	—
358	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
359	C₄	#2369	1	8	yes	complemented
360	C₂	C₂×Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
361	C₂	C₂×#2369	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#34181	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#34213	1	2	yes	—
364	C₂	#34368	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#59822	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#59823	1	2	yes	—
367	C₂	#59832	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#59869	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#59871	1	2	yes	—
370	C₂	#59924	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
75. #384	Q₈	semidirect
106. C₄⋊Q₈	C₄⋊C₄	semidirect
359. C₄	#2369	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2369	2
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
#14467	2
#14151	2
#14045	2
#13926	2
#13910	2
C₄⋊C₄²	2
C₄×#384	2