Subgroups — #555897

Order 512.

5322 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14681	C₂	1	2	yes	maximal
4	#14449	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#14342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13870	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13868	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
11	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2310	—	2	16	no	—
18	C₂×#391	C₂²	1	16	yes	complemented
19	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
23	#1445	C₂²	1	16	yes	complemented
24	#1441	C₂²	1	16	yes	complemented
25	#1439	C₂²	1	16	yes	—
26	#1437	C₂²	1	16	yes	—
27	#1436	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
30	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×Q₈	—	4	8	no	—
32	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	C₂³×Q₈	D₄	1	16	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
36	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
37	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	64	yes	—
46	C₂×#117	—	2	16	no	—
47	C₂×#117	—	4	16	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
63	#391	—	2	64	no	—
64	#381	—	2	16	no	—
65	#381	—	2	16	no	—
66	#381	—	4	8	no	—
67	#379	—	4	8	no	—
68	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
69	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
73	C₂⁵	—	2	4	no	—
74	C₂⁵	—	2	8	no	—
75	C₂⁵	—	2	8	no	—
76	C₂⁵	—	4	4	no	—
77	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
78	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
79	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
81	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
82	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
83	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
84	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
85	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
86	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
87	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	32	yes	—
88	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	256	no	—
115	#117	—	4	64	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
135	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
137	#95	—	2	16	no	—
138	#95	—	2	16	no	—
139	#95	—	2	32	no	—
140	#95	—	4	32	no	—
141	#95	—	4	16	no	—
142	C₂⁴	—	2	4	no	—
143	C₂⁴	—	2	4	no	—
144	C₂⁴	—	2	32	no	—
145	C₂⁴	—	2	8	no	—
146	C₂⁴	—	2	16	no	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	2	8	no	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	8	no	—
151	C₂⁴	—	2	16	no	—
152	C₂⁴	—	4	8	no	—
153	C₂⁴	—	4	64	no	—
154	C₂⁴	—	4	16	no	—
155	C₂⁴	—	4	16	no	—
156	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
157	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
159	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
160	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
161	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
162	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
166	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
167	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
168	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
214	C₄²	—	4	32	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	2	8	no	—
219	C₂³	—	2	32	no	—
220	C₂³	—	2	32	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	8	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	8	no	—
225	C₂³	—	2	16	no	—
226	C₂³	—	2	32	no	—
227	C₂³	—	4	64	no	—
228	C₂³	—	4	128	no	—
229	C₂³	—	4	16	no	—
230	C₂³	—	4	16	no	—
231	C₂³	—	4	8	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	4	16	no	—
234	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂³	#518	1	8	yes	—
236	C₂³	#519	1	8	yes	—
237	C₂³	#534	1	16	yes	—
238	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
242	C₂³	#585	1	4	yes	—
243	Q₈	—	4	64	no	—
244	C₂×C₄	—	2	32	no	—
245	C₂×C₄	—	2	64	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	16	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	16	no	—
252	C₂×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	16	no	—
257	C₂×C₄	—	4	64	no	—
258	C₂×C₄	—	4	32	no	—
259	C₂×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂×C₄	—	4	16	no	—
264	C₂×C₄	—	4	16	no	—
265	C₂×C₄	—	4	16	no	—
266	C₂×C₄	—	4	32	no	—
267	C₂×C₄	—	4	32	no	—
268	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
270	C₂²	—	2	16	no	—
271	C₂²	—	2	32	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	16	no	—
275	C₂²	—	2	8	no	—
276	C₂²	—	4	64	no	—
277	C₂²	—	4	8	no	—
278	C₂²	—	4	32	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	#2308	1	8	yes	—
282	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
284	C₂²	C₂×#519	1	2	yes	—
285	C₂²	#3428	1	2	yes	—
286	C₂²	C₂×#534	1	4	yes	—
287	C₂²	#3486	1	4	yes	—
288	C₂²	#3487	1	4	yes	—
289	C₂²	#3535	1	16	yes	—
290	C₄	—	2	8	no	—
291	C₄	—	2	16	no	—
292	C₄	—	4	8	no	—
293	C₄	—	4	4	no	—
294	C₄	—	8	16	no	—
295	C₂	—	2	8	no	—
296	C₂	—	4	8	no	—
297	C₂	C₂×#2308	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#34173	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#34174	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#34359	1	4	yes	—
301	C₂	#37186	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2310	C₂	semidirect
4. #14449	C₂	semidirect
5. #14342	C₂	semidirect
6. #13870	C₂	semidirect
11. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
18. C₂×#391	C₂²	semidirect
23. #1445	C₂²	semidirect
24. #1441	C₂²	semidirect
27. #1436	C₂²	semidirect
85. C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#2310	2
#14681	2
#14449	2
#14342	2
#13870	2
#13868	2