Subgroups — #555901

Order 512.

6930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2313	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14681	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#14418	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#14335	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13903	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13902	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#121	—	2	16	no	—
12	C₂²×#121	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×#121	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	#2313	—	2	16	no	—
17	C₂×#390	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#387	C₂²	1	16	yes	complemented
19	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#379	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	#1439	C₂²	1	16	yes	complemented
26	#1438	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#1438	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#1437	C₂²	1	16	yes	complemented
29	C₂²⋊#95	C₂²	1	16	yes	complemented
30	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
33	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
34	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
35	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
36	C₂³×D₄	—	4	16	no	—
37	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
40	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
42	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
43	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#121	—	2	128	no	—
49	C₂×#121	—	2	64	no	—
50	C₂×#121	C₂×C₄	1	64	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
63	#390	—	4	32	no	—
64	#387	—	2	64	no	—
65	#381	—	2	16	no	—
66	#381	—	4	8	no	—
67	#380	—	2	16	no	—
68	#379	—	4	8	no	—
69	#379	—	4	16	no	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
71	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
75	C₂⁵	—	2	4	no	—
76	C₂⁵	—	2	8	no	—
77	C₂⁵	—	2	4	no	—
78	C₂⁵	—	2	4	no	—
79	C₂⁵	—	2	8	no	—
80	C₂⁵	—	2	16	no	—
81	C₂⁵	—	4	4	no	—
82	C₂⁵	—	4	8	no	—
83	C₂⁵	—	4	8	no	—
84	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂⁵	C₂²×C₄	1	8	yes	—
86	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
87	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
88	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
102	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
124	#121	—	2	256	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	32	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
143	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
145	#95	—	2	16	no	—
146	#95	—	2	16	no	—
147	#95	—	2	32	no	—
148	#95	—	4	16	no	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	32	no	—
152	C₂⁴	—	2	8	no	—
153	C₂⁴	—	2	16	no	—
154	C₂⁴	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	8	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	8	no	—
158	C₂⁴	—	2	16	no	—
159	C₂⁴	—	2	16	no	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	16	no	—
163	C₂⁴	—	2	16	no	—
164	C₂⁴	—	2	16	no	—
165	C₂⁴	—	2	32	no	—
166	C₂⁴	—	4	8	no	—
167	C₂⁴	—	4	16	no	—
168	C₂⁴	—	4	16	no	—
169	C₂⁴	—	4	64	no	—
170	C₂⁴	—	4	16	no	—
171	C₂⁴	—	4	16	no	—
172	C₂⁴	—	4	16	no	—
173	C₂⁴	—	4	16	no	—
174	C₂⁴	—	4	16	no	—
175	C₂⁴	—	4	16	no	—
176	C₂⁴	—	4	16	no	—
177	C₂⁴	—	4	16	no	—
178	C₂⁴	—	8	64	no	—
179	C₂⁴	C₂³×C₄	1	8	yes	—
180	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
181	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
183	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
184	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
185	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
186	C₂×D₄	—	2	64	no	—
187	C₂×D₄	—	2	64	no	—
188	C₂×D₄	—	2	32	no	—
189	C₂×D₄	—	4	32	no	—
190	C₂×D₄	—	4	32	no	—
191	C₂×D₄	—	4	64	no	—
192	C₂×D₄	—	4	64	no	—
193	C₂×D₄	—	4	128	no	—
194	C₂×D₄	—	4	64	no	—
195	C₂×D₄	—	4	256	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
225	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
226	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	8	64	no	—
231	C₄²	—	8	16	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	8	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	2	32	no	—
237	C₂³	—	2	32	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	8	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	8	no	—
242	C₂³	—	2	16	no	—
243	C₂³	—	2	32	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	16	no	—
246	C₂³	—	2	16	no	—
247	C₂³	—	2	16	no	—
248	C₂³	—	4	64	no	—
249	C₂³	—	4	128	no	—
250	C₂³	—	4	16	no	—
251	C₂³	—	4	32	no	—
252	C₂³	—	4	32	no	—
253	C₂³	—	4	16	no	—
254	C₂³	—	4	8	no	—
255	C₂³	—	4	8	no	—
256	C₂³	—	4	16	no	—
257	C₂³	—	4	32	no	—
258	C₂³	—	4	8	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	32	no	—
265	C₂³	—	4	32	no	—
266	C₂³	—	8	64	no	—
267	C₂³	—	8	64	no	—
268	C₂³	—	8	64	no	—
269	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂³	#518	1	8	yes	—
271	C₂³	#518	1	8	yes	—
272	C₂³	#535	1	16	yes	—
273	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
277	C₂³	#585	1	4	yes	—
278	D₄	—	4	128	no	—
279	D₄	—	4	64	no	—
280	C₂×C₄	—	2	32	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	16	no	—
284	C₂×C₄	—	2	16	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	32	no	—
289	C₂×C₄	—	4	64	no	—
290	C₂×C₄	—	4	16	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	16	no	—
295	C₂×C₄	—	4	32	no	—
296	C₂×C₄	—	4	32	no	—
297	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
299	C₂²	—	2	16	no	—
300	C₂²	—	2	32	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	16	no	—
304	C₂²	—	2	8	no	—
305	C₂²	—	4	64	no	—
306	C₂²	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	32	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	32	no	—
311	C₂²	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	4	8	no	—
314	C₂²	—	8	64	no	—
315	C₂²	—	8	16	no	—
316	C₂²	—	8	16	no	—
317	C₂²	#2309	1	8	yes	—
318	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
321	C₂²	#3428	1	2	yes	—
322	C₂²	C₂×#535	1	4	yes	—
323	C₂²	#3484	1	4	yes	—
324	C₂²	#3487	1	4	yes	—
325	C₂²	#3534	1	16	yes	—
326	C₄	—	2	16	no	—
327	C₄	—	2	8	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	8	16	no	—
330	C₂	—	2	8	no	—
331	C₂	—	4	8	no	—
332	C₂	—	8	8	no	—
333	C₂	C₂×#2309	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#34171	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#34174	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#34358	1	4	yes	—
337	C₂	#37185	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×#121	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2313	C₂	semidirect
3. #14681	C₂	semidirect
4. #14418	C₂	semidirect
5. #14335	C₂	semidirect
6. #13903	C₂	semidirect
7. #13902	C₂	semidirect
12. C₂²×#121	C₄	semidirect
17. C₂×#390	C₂²	semidirect
18. C₂×#387	C₂²	semidirect
25. #1439	C₂²	semidirect
26. #1438	C₂²	semidirect
27. #1438	C₂²	semidirect
28. #1437	C₂²	semidirect
29. C₂²⋊#95	C₂²	semidirect
127. C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#121	2
C₂×#2313	2
#14681	2
#14418	2
#14335	2
#13903	2
#13902	2