Subgroups — #556753

Order 512.

5710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14658	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14335	C₂	1	2	yes	maximal
6	#14287	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#14167	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#13870	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#13868	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#123	—	2	16	no	—
13	C₂²×#123	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂²×#123	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#123	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#123	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	#2280	—	2	16	no	—
22	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1441	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1440	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1440	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1439	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1438	C₂²	1	8	yes	—
35	#1438	C₂²	1	8	yes	—
36	#1437	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1436	C₂²	1	16	yes	complemented
38	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
39	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
43	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
47	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
49	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#123	—	2	128	no	—
56	C₂×#123	—	2	16	no	—
57	C₂×#123	—	2	16	no	—
58	C₂×#123	—	2	16	no	—
59	C₂×#123	—	2	16	no	—
60	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
61	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
62	C₂×#123	C₂×C₄	1	32	yes	—
63	C₂×#117	—	2	16	no	—
64	C₂×#117	—	4	16	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
85	#381	—	2	16	no	—
86	#381	—	4	8	no	—
87	#380	—	2	16	no	—
88	#380	—	2	16	no	—
89	#379	—	2	16	no	—
90	#379	—	4	8	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
93	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
97	C₂⁵	—	2	8	no	—
98	C₂⁵	—	2	4	no	—
99	C₂⁵	—	2	8	no	—
100	C₂⁵	—	4	8	no	—
101	C₂⁵	—	4	8	no	—
102	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
105	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
106	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
129	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	#123	—	2	64	no	—
148	#123	—	2	128	no	—
149	#123	—	2	64	no	—
150	#117	—	4	64	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
181	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
182	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
183	#95	—	2	16	no	—
184	#95	—	2	16	no	—
185	#95	—	4	32	no	—
186	#95	—	4	16	no	—
187	C₂⁴	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	16	no	—
189	C₂⁴	—	2	32	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	8	no	—
193	C₂⁴	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	2	16	no	—
198	C₂⁴	—	2	16	no	—
199	C₂⁴	—	4	16	no	—
200	C₂⁴	—	4	16	no	—
201	C₂⁴	—	4	16	no	—
202	C₂⁴	—	4	16	no	—
203	C₂⁴	—	4	64	no	—
204	C₂⁴	—	4	16	no	—
205	C₂⁴	—	4	16	no	—
206	C₂⁴	—	4	16	no	—
207	C₂⁴	—	8	32	no	—
208	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
209	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
210	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
211	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
212	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
216	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
217	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	C₂×D₄	—	2	16	no	—
219	C₂×D₄	—	2	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	16	no	—
222	C₂×D₄	—	4	128	no	—
223	C₂×D₄	—	4	32	no	—
224	C₂×D₄	—	4	32	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
278	C₄²	—	4	32	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	2	32	no	—
283	C₂³	—	2	32	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	8	no	—
296	C₂³	—	2	16	no	—
297	C₂³	—	4	32	no	—
298	C₂³	—	4	64	no	—
299	C₂³	—	4	128	no	—
300	C₂³	—	4	32	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	4	16	no	—
303	C₂³	—	4	16	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	8	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	16	no	—
308	C₂³	—	4	16	no	—
309	C₂³	—	8	32	no	—
310	C₂³	—	8	64	no	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
312	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
313	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
314	C₂³	#518	1	8	yes	—
315	C₂³	#534	1	16	yes	—
316	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
319	C₂³	#585	1	8	yes	—
320	D₄	—	4	32	no	—
321	D₄	—	4	32	no	—
322	C₂×C₄	—	2	64	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	32	no	—
335	C₂×C₄	—	4	16	no	—
336	C₂×C₄	—	4	32	no	—
337	C₂×C₄	—	4	16	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	16	no	—
342	C₂×C₄	—	4	16	no	—
343	C₂×C₄	—	4	16	no	—
344	C₂×C₄	—	4	32	no	—
345	C₂×C₄	—	4	32	no	—
346	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
348	C₂²	—	2	16	no	—
349	C₂²	—	2	32	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	8	no	—
354	C₂²	—	2	8	no	—
355	C₂²	—	4	64	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	4	16	no	—
359	C₂²	—	4	16	no	—
360	C₂²	—	4	16	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	8	no	—
363	C₂²	—	8	32	no	—
364	C₂²	—	8	16	no	—
365	C₂²	#2308	1	8	yes	—
366	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
368	C₂²	#3428	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂×#534	1	4	yes	—
370	C₂²	#3449	1	4	yes	—
371	C₂²	#3449	1	4	yes	—
372	C₂²	#3533	1	16	yes	—
373	C₄	—	2	8	no	—
374	C₄	—	2	8	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	8	no	—
377	C₄	—	8	16	no	—
378	C₂	—	2	8	no	—
379	C₂	—	4	4	no	—
380	C₂	—	4	4	no	—
381	C₂	—	8	4	no	—
382	C₂	C₂×#2308	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#34044	1	2	yes	—
384	C₂	#34357	1	4	yes	—
385	C₂	#37443	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2280	C₂	semidirect
3. #14658	C₂	semidirect
4. #14341	C₂	semidirect
6. #14287	C₂	semidirect
7. #14167	C₂	semidirect
8. #13870	C₂	semidirect
9. #13868	C₂	semidirect
13. C₂²×#123	C₄	semidirect
24. C₂×#380	C₂²	semidirect
25. C₂×#380	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
30. #1441	C₂²	semidirect
31. #1440	C₂²	semidirect
32. #1440	C₂²	semidirect
33. #1439	C₂²	semidirect
36. #1437	C₂²	semidirect
37. #1436	C₂²	semidirect
129. C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#123	2
C₂×#2280	2
#14658	2
#14341	2
#14335	2
#14287	2
#14167	2
#13870	2
#13868	2